Группа Гротендика — Википедия

Группа Гротендика — понятие абстрактной алгебры, имеющее многочисленные приложения, в том числе в теории представлений, алгебраической геометрии, K-теории. Названа в честь французского математика Александра Гротендика, который ввёл это понятие в середине 1950-х годов.

Пусть ${\displaystyle M}$ — коммутативный моноид, т. е. коммутативная полугруппа с нейтральным элементом. Операцию в ${\displaystyle M}$ назовём сложением. Группа Гротендика моноида ${\displaystyle M}$ (обозначается обычно ${\displaystyle K}$ или ${\displaystyle K_{0}}$) — это абелева группа, которая является (в определённом смысле) расширением моноида ${\displaystyle M}$ до группы, т. е. допускает операцию не только суммы, но и разности двух элементов.

Говоря неформально, группа Гротендика коммутативного моноида — это универсальный способ сделать из моноида абелеву группу, «группифицировать» моноид.

Пусть ${\displaystyle M}$ — коммутативный моноид. Тогда его группа Гротендика ${\displaystyle K}$ должна обладать следующим универсальным свойством: существует гомоморфизм моноидов

${\displaystyle i\colon M\rightarrow K}$

такой, что для любого гомоморфизма моноидов

${\displaystyle f\colon M\rightarrow A}$

в абелеву группу ${\displaystyle A}$ существует единственный гомоморфизм абелевых групп

${\displaystyle g\colon K\rightarrow A}$

такой, что

${\displaystyle f=g\circ i.}$

В терминах теории категорий функтор, переводящий коммутативный моноид ${\displaystyle M}$ в его группу Гротендика ${\displaystyle K}$, является левым сопряжённым функтором забывающего функтора из категории абелевых групп в категорию коммутативных моноидов.

Если моноид обладает свойством сокращения (из ${\displaystyle x+y=x+z}$ следует ${\displaystyle y=z}$), то группу Гротендика можно построить следующим образом. Рассмотрим декартово произведение ${\displaystyle M\times M}$, элементами которого являются пары ${\displaystyle (a,b)}$, где ${\displaystyle a,b\in M}$. При этом мы представляем, что пары ${\displaystyle (a,b)}$ соответствуют разностям ${\displaystyle a-b}$; исходя из этого сложение определяется формулой

${\displaystyle (a,b)+(a',b')=(a+a',b+b').}$

Определённое таким образом сложение обладает свойствами ассоциативности и коммутативности (вытекающими из аналогичных свойств моноида ${\displaystyle M}$).

Для того, чтобы определить группу Гротендика ${\displaystyle K}$, нужно ввести на множестве ${\displaystyle M\times M}$ отношение эквивалентности, при котором эквивалентными являются элементы ${\displaystyle (a,b)}$ и ${\displaystyle (a',b')}$, для которых выполнено равенство: ${\displaystyle a+b'=a'+b}$ (подобно построению поля частных). Выполнение свойств рефлексивности и симметричности проверяется тривиально. Транзитивность следует из свойства сокращения. Класс эквивалентности пары ${\displaystyle (a,b)}$ называется формальной разностью элементов ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ и обозначается ${\displaystyle a-b}$. Множество определенных таким образом формальных разностей (классов эквивалентности) с операцией сложения составляет группу Гротендика ${\displaystyle K}$ моноида ${\displaystyle M}$.

Нейтральный (нулевой) элемент группы ${\displaystyle K}$ — это класс эквивалентности, состоящий из пар вида ${\displaystyle (a,a)}$ при всевозможных ${\displaystyle a\in M}$. Элемент, противоположный к элементу ${\displaystyle (a,b)}$, имеет вид ${\displaystyle (b,a)}$ (и в первом, и во втором случае подразумеваются соответствующие классы эквивалентности).

Имеется естественное вложение ${\displaystyle M\to K}$, которое позволяет считать ${\displaystyle K}$ расширением ${\displaystyle M}$. Именно, каждому элементу ${\displaystyle a\in M}$ ставится в соответствие формальная разность ${\displaystyle a-0}$.

Приведенное построение наглядно, но без предположения свойства сокращения указанное отношение может не быть транзитивным. Как пример, рассмотрим кардинальные числа с операцией сложения (позволяя себе вольность рассматривать их все как множество); обозначив мощность множества натуральных чисел через ${\displaystyle \omega _{0}}$, получим, что ${\displaystyle (0,0)\sim (\omega _{0},\omega _{0})\sim (0,\omega _{0})}$, но ${\displaystyle (0,0)\nsim (0,\omega _{0})}$

Рассмотрим абелеву группу ${\displaystyle A}$, построенную на элементах моноида ${\displaystyle M}$ (т.е. абелеву группу с базисом { ${\displaystyle e_{m}|m\in M}$ }. В ней рассмотрим подгруппу ${\displaystyle B}$, порожденную элементами вида ${\displaystyle e_{a+b}-e_{a}-e_{b}}$. Факторгруппа ${\displaystyle K=A/B}$ и есть группа Гротендика (факторизация по B имеет тот же смысл, что и введение отношения эквивалентности для моноидов со свойством сокращения).

При таком построении имеется естественный гомоморфизм ${\displaystyle M}$ в ${\displaystyle K}$, при котором ${\displaystyle m\in M}$ переходит в смежный класс ${\displaystyle e_{m}+B}$. Эти классы являются системой порождающий всей группы ${\displaystyle K}$, следовательно любой гомоморфизм ${\displaystyle f:M\to A}$ в абелеву группу продолжается на ${\displaystyle K}$ не более чем одним способом; это продолжение можно задать явно:

${\displaystyle \sum k_{i}[e_{m_{i}}]\mapsto \sum k_{i}f(m_{i})}$

(${\displaystyle [e_{m}]}$ означает смежный класс элемента ${\displaystyle e_{m}}$). Корректность этого продолжения (т.е. независимость от выбора представителя смежного класса) следует из определения группы ${\displaystyle B}$.

Указанный гомоморфизм ${\displaystyle M\to K}$ является вложением, если и только если ${\displaystyle M}$ обладает свойством сокращения.

Простейший пример группы Гротендика — построение целых чисел по натуральным. Сначала мы проверяем, что натуральные числа с обычным сложением ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$ действительно образуют коммутативный моноид со свойством сокращения. Теперь, используя конструкцию группы Гротендика, рассмотрим формальные разности натуральных чисел ${\displaystyle n-m}$ с отношением эквивалентности

${\displaystyle n-m\sim n'-m'\leftrightarrow n+m'=n'+m.}$

Теперь определим

${\displaystyle n:=[n-0],}$

${\displaystyle -n:=[0-n]}$

для всех ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Эта конструкция определяет целые числа ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

• Grothendieck group Архивная копия от 14 мая 2011 на Wayback Machine на PlanetMath.
• Michael Atiyah. K-Theory, (Notes taken by D. W. Anderson, Fall 1964), published in 1967, W. A. Benjamin Inc., New York.
• Jonathan Rosenberg. Algebraic K-Theory and Its Applications, Springer Verlag, 1994, ISBN 3-540-94248-3.