Дисперсия случайной величины — Википедия
Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Обозначается в русской литературе и (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение или .
Квадратный корень из дисперсии, равный , называется среднеквадратическим отклонением, стандартным отклонением или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.
Из неравенства Чебышёва следует, что вероятность того, что значения случайной величины отстоят от математического ожидания этой случайной величины более чем на стандартных отклонений, составляет менее . В специальных случаях оценка может быть усилена. Так, например, как минимум в 95 % случаев значения случайной величины, имеющей нормальное распределение, удалены от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 99,7 % — не более чем на три.
Определение
[править | править код]Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.
Пусть — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда дисперсией называется
где символ обозначает математическое ожидание[1][2].
Замечания
[править | править код]![]() | В разделе не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |
- Если случайная величина дискретная, то
где — -ое значение случайной величины, — вероятность того, что случайная величина принимает значение , — количество значений, которые принимает случайная величина.
Пусть - случайная величина, независимая от , но с тем же самым распределением. Тогда , , и
Сопоставляя две эти формулы, получаем нужное равенство.
- Если случайная величина непрерывна, то:
- ,
где — плотность вероятности случайной величины.
- В силу линейности математического ожидания справедлива формула:
- Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины.
- Дисперсия может быть бесконечной.
- Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов :
- Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности.
- Формула для вычисления смещённой оценки дисперсии случайной величины по последовательности реализаций этой случайной величины: имеет вид:
- , где — выборочное среднее (несмещённая оценка ).
- Для получения несмещённой оценки дисперсии случайной величины значение необходимо умножить на . Несмещённая оценка имеет вид:
Свойства
[править | править код]![]() | В разделе не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |
- Дисперсия любой случайной величины неотрицательна:
- Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
- Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: Верно и обратное: если то почти всюду.
- Дисперсия суммы двух случайных величин равна:
- , где — их ковариация.
- Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:
- , где .
- В частности, для любых независимых или некоррелированных случайных величин, так как их ковариации равны нулю.
- Если — случайная величина от пары элементарных событий (случайная величина на декартовом произведении вероятностных пространств), то
Условная дисперсия
[править | править код]![]() | В разделе не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |
Наряду с условным математическим ожиданием в теории случайных процессов используется условная дисперсия случайных величин .
Условной дисперсией случайной величины относительно случайной величины называется случайная величина:
- .
Её свойства:
- условная дисперсия относительно случайной величины является Y-измеримой случайной величиной (то есть измерима относительно сигма-алгебры, порождённой случайной величиной );
- условная дисперсия неотрицательна: ;
- условная дисперсия равна нулю тогда и только тогда, когда почти наверное, то есть тогда и только тогда, когда совпадает почти наверное с некоторой Y-измеримой величиной (а именно, с );
- обычная дисперсия также может быть представлена как условная: ;
- если величины и независимы, случайная величина является константой, равной ;
- если — две числовые случайные величины, то
- откуда, в частности, следует, что дисперсия условного математического ожидания всегда меньше или равна дисперсии исходной случайной величины .
Пример
[править | править код]![]() | В разделе не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |
Пусть случайная величина имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на , то есть её плотность вероятности задана равенством
Тогда математическое ожидание квадрата случайной величины равно
- ,
и математическое ожидание случайной величины равно
Дисперсия случайной величины равна
См. также
[править | править код]- Среднеквадратическое отклонение
- Моменты случайной величины
- Ковариация
- Выборочная дисперсия
- Независимость (теория вероятностей)
- Скедастичность
- Абсолютное отклонение
- Дельта-метод
Примечания
[править | править код]- ↑ Колмогоров А. Н. Глава IV. Математические ожидания; §3. Неравенство Чебышева // Основные понятия теории вероятностей. — 2-е изд. — М.: Наука, 1974. — С. 63—65. — 120 с.
- ↑ Боровков А. А. Глава 4. Числовые характеристики случайных величин; §5. Дисперсия // Теория вероятностей. — 5-е изд. — М.: Либроком, 2009. — С. 93—94. — 656 с.
Литература
[править | править код]- Гурский Д., Турбина Е. Mathcad для студентов и школьников. Популярный самоучитель. — СПб.: Питер, 2005. — С. 340. — ISBN 5469005259.
- Орлов А. И. Дисперсия случайной величины // Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты. — М.: МЗ-Пресс, 2004.
![]() | У этой статьи не хватает нужной иллюстрации (графика). |