Информация Фишера — Википедия
Информа́ция Фи́шера — математическое ожидание квадрата относительной скорости изменения условной плотности вероятности [1]. Эта функция названа в честь описавшего её Рональда Фишера.
Определение
[править | править код]Пусть — плотность распределения для данной статистической модели. Тогда если определена функция
- ,
где — логарифмическая функция правдоподобия, а — математическое ожидание по при данном , то она называется информацией Фишера для данной статистической модели при независимых испытаниях.
Если дважды дифференцируем по , и при определенных условиях регулярности, информацию Фишера можно переписать как [2]
Для регулярных моделей: (В этом и состоит определение регулярности).
В этом случае, поскольку математическое ожидание функции вклада выборки равно нулю, выписанная величина равна её дисперсии.
Фишеровским количеством информации, содержащемся в одном наблюдении называют:
- .
Для регулярных моделей все равны между собой.
Если выборка состоит из одного элемента, то информация Фишера записывается так:
- .
Из условия регулярности, а также из того, что в случае независимости случайных величин дисперсия суммы равна сумме дисперсий, следует, что для независимых испытаний .
Свойства
[править | править код]- Из указанного выше свойства дисперсий следует, что в случае независимости случайных величин (рассматриваемых в одной статистической модели) информация Фишера их суммы равна сумме информации Фишера каждой из них.
Сохранение информации достаточной статистикой
[править | править код]В общем случае, если — статистика выборки X, то
Причем равенство достигается тогда и только тогда, когда T является достаточной статистикой.
Достаточная статистика содержит столько же информации Фишера, сколько и вся выборка X. Это может быть показано с помощью факторизационного критерия Неймана для достаточной статистики. Если статистика достаточна для параметра , то существуют функции g и h такие, что:
Равенство информации следует из:
что следует из определения информации Фишера и независимости от .
См. также
[править | править код]Другие меры, используемые в теории информации:
Примечания
[править | править код]- ↑ Леман, 1991, с. 112.
- ↑ Lehmann, E. L.[англ.]; Casella, G. Theory of Point Estimation (неопр.). — 2nd ed. — Springer, 1998. — ISBN 0-387-98502-6. , eq. (2.5.16).
Литература
[править | править код]- Леман Э. Теория точечного оценивания. — М.: Наука, 1991. — 448 с. — ISBN 5-02-013941-6.
![]() | В другом языковом разделе есть более полная статья Fisher information (англ.). |
![]() | В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |