Кватернионный анализ — это раздел математики, изучающий регулярные кватернионнозначные функции кватернионного переменного. Из-за некоммутативности алгебры кватернионов существуют различные неравносильные подходы к определению регулярных кватернионных функций. В данной статье будет рассматриваться, в основном, подход Фютера[1].
Рассмотрим оператор
![{\displaystyle {\bar {\partial }}={\frac {\partial }{\partial {\bar {q}}}}={\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {i}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\vec {j}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\vec {k}}{\frac {\partial }{\partial z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6958837f1291e71777c9b988d5d69371a9da1e8)
Функция кватернионного переменного
называется регулярной, если
![{\displaystyle {\bar {\partial }}f=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f210878c7ae78ccb976f5a02ff4f06152c8a9f)
Пусть
, тогда и
. Несложно проверить, что оператор
имеет вид
![{\displaystyle \partial {\bar {\partial }}={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}=\Delta _{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81c0c58c0a9ee29972f34612a8145b2c1c7f0a9e)
и совпадает с оператором Лапласа в
. Таким образом, все компоненты регулярной кватернионной функции являются гармоническими функциями в
. Обратно, можно показать, что для любой гармонической функции
существует регулярная кватернионная функция
такая, что
. Из свойств гармонических функций сразу следуют многие свойства регулярных кватернионных функций, в частности, принцип максимума.
Кватернионы активно применяются для расчёта трёхмерной графики в компьютерных играх
Пусть
— функция, определённая на теле кватернионов. Мы можем определить понятие левой производной
в точке
как такое число, что
![{\displaystyle f(x)-f(a)=y'_{l}(x-a)+o(x-a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eec73d0e05810f0a62dd2aadacd93d435be70a3e)
где
— бесконечно малая от
, то есть
.
Множество функций, которые имеют левую производную, ограничено. Например, такие функции, как
![{\displaystyle y=axb}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/935ee7faace36e8b2ddc0c5f2806574f051ac180)
![{\displaystyle y=x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad1108c4c9ee8ac7de90b77f9bd27415b13b6bf1)
не имеют левой производной.
Рассмотрим приращение этих функций более внимательно.
![{\displaystyle a(x+h)b-axb=ahb}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ae297b27b8b89ae38d94ee0b1f7a8881f0ce9b7)
![{\displaystyle (x+h)^{2}-x^{2}=xh+hx+h^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a85918965890e86c06925549c24c4067578279e)
Нетрудно убедиться, что выражения
и ![{\displaystyle xh+hx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61b02e179a5a3f6b90cbf9d32d452dcdac0d2955)
являются линейными функциями кватерниона
. Это наблюдение является основанием для следующего определения[2].
Непрерывное отображение
![{\displaystyle f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c35624cdf05d57e1b4243088958c10739ff819d)
называется дифференцируемым на множестве
, если в каждой точке
изменение отображения
может быть представлено в виде
![{\displaystyle f(x+h)-f(x)={\frac {df(x)}{dx}}\circ h+o(h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d3d5a9bfd66a91865c5c49a99c0f0d6ea3ecb5)
где
![{\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ace99639f3ed3d8eeef8bab97a64ffdff654a861)
линейное отображение алгебры кватернионов
и
такое непрерывное отображение, что
![{\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {|o(a)|}{|a|}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5ee557e257e83f989faa6ae8c392a45ba15a92a)
Линейное отображение
![{\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97e6760d50a821c2afe6fc249ff6520557348c54)
называется производной отображения
.
Производная может быть представлена в виде[3]
![{\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c21361da98891eae540a615f7ff6687516425a37)
Соответственно дифференциал отображения
имеет вид
![{\displaystyle df={\frac {df(x)}{dx}}\circ dx=\left({\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}\right)\circ dx={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}dx{\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2657bf63011e0aab73537217134c27ae66e7a5d7)
Здесь предполагается суммирование по индексу
. Число слагаемых зависит от выбора функции
. Выражения
![{\displaystyle {\frac {d_{s0}df(x)}{dx}},{\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbf14357279ac9ee8048f68a15c9b3535431d327)
называются компонентами производной.
Производная удовлетворяет равенствам
![{\displaystyle {\frac {d(f(x)+g(x))}{dx}}={\frac {df(x)}{dx}}+{\frac {dg(x)}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c145858239d15863ce856b8972d99a09b32bd6c)
![{\displaystyle {\frac {df(x)g(x)}{dx}}={\frac {df(x)}{dx}}\ g(x)+f(x)\ {\frac {dg(x)}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bb56e211d1a3c23159102e755c1e653c85d650e)
![{\displaystyle {\frac {df(x)g(x)}{dx}}\circ h=\left({\frac {df(x)}{dx}}\circ h\right)\ g(x)+f(x)\left({\frac {dg(x)}{dx}}\circ h\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b6e27734d7be7a5ba006ccbf2c01ce2fa7ecaee)
![{\displaystyle {\frac {daf(x)b}{dx}}=a\ {\frac {df(x)}{dx}}\ b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73f280aa91ea9d4827bba2e3068344f0790acaf5)
![{\displaystyle {\frac {daf(x)b}{dx}}\circ h=a\left({\frac {df(x)}{dx}}\circ h\right)b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4f5a15cdebbc75be96b45d4c05ed820690b1124)
Если
, то производная имеет вид
![{\displaystyle {\frac {daxb}{dx}}=a\otimes b,dy={\frac {daxb}{dx}}\circ dx=a\,dx\,b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/048655d53124db96dec0729ef76ecf1264ae3151)
![{\displaystyle {\frac {d_{10}axb}{dx}}=a,{\frac {d_{11}axb}{dx}}=b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b232c4ab3c4d117d958f50a3aa7fd44b8697161)
Если
, то производная имеет вид
![{\displaystyle {\frac {dx^{2}}{dx}}=x\otimes 1+1\otimes x,dy={\frac {dx^{2}}{dx}}\circ dx=x\,dx+dx\,x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/491473fa09692460793634fe65baaad6c30e92be)
и компоненты производной имеют вид
![{\displaystyle {\frac {d_{10}x^{2}}{dx}}=x,{\frac {d_{11}x^{2}}{dx}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b3051911c7e60159fcf350a8a52fffb1486f26d)
![{\displaystyle {\frac {d_{20}x^{2}}{dx}}=1,{\frac {d_{21}x^{2}}{dx}}=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8afb1be3d42acd8a8ea7c712af3c882de62756a)
Если
, то производная имеет вид
![{\displaystyle {\frac {dx^{-1}}{dx}}=-x^{-1}\otimes x^{-1},dy={\frac {dx^{-1}}{dx}}\circ dx=-x^{-1}dx\,x^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3805df2656ec5d233e3f0ded2a8b512fac5b7469)
и компоненты производной имеют вид
![{\displaystyle {\frac {d_{10}x^{-1}}{dx}}=-x^{-1},{\frac {d_{11}x^{-1}}{dx}}=x^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e101445bd721e09995453c714692a7cfcdba9e05)
- ↑ Fueter, R. Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen // Commentarii Mathematici Helvetici. — №1. — Birkhäuser Basel, 1936. — P. 371—378.
- ↑ Aleks Kleyn, eprint arXiv:1601.03259 Архивная копия от 25 января 2018 на Wayback Machine Introduction into Calculus over Banach algebra, 2016
- ↑ Выражение
не является дробью и должно восприниматься как единый символ. Данное обозначение предложено для совместимости с обозначением производной. Значение выражения
при заданном
является кватернионом.
- D. B. Sweetser, Doing Physics with Quaternions Архивная копия от 7 января 2009 на Wayback Machine (англ.)
- A. Sudbery, Quaternionic Analysis, Department of Mathematics, University of York, 1977.
- В. И. Арнольд, Геометрия сферических кривых и алгебра кватернионов, УМН, 1995, 50:1(301), 3-68