Множество меры ноль — Википедия

В математическом анализе множество меры 0 (ноль или нуль), также известное как «множество с нулевым содержимым» — измеримое по Лебегу множество действительных чисел, имеющее меру ноль. Его можно охарактеризовать как множество, которое можно покрыть счётным объединением интервалов произвольно малой общей длины.

Важно, в каком множестве определяется мера. Одно и то же множество может иметь ненулевую меру (например, в самом себе) и нулевую.

Понятие множества меры 0 не следует путать с пустым множеством, определённым в теории множеств. Хотя пустое множество имеет нулевую меру Лебега, существуют также непустые множества, которые имеют меру 0. Например, любое непустое счётное множество действительных чисел имеет нулевую меру Лебега.

В более общем смысле, на заданном пространстве мер ${\displaystyle M=(X,\Sigma ,\mu )}$ множество меры 0 — это множество ${\displaystyle S\in \Sigma }$ такое, что ${\displaystyle \mu (S)=0.}$

Каждое конечное или счётное бесконечное подмножество действительных чисел является множеством меры 0. Например, множество натуральных чисел и множество рациональных чисел являются счётно-бесконечными и, следовательно, являются множествами меры 0, если рассматривать их как подмножества действительных чисел.

Множество Кантора является примером несчётного множества меры 0.

Предположим, ${\displaystyle A}$ является подмножеством числовой оси ${\displaystyle \mathbb {R} }$ таким, что для каждого ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ существует последовательность ${\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots }$ открытых интервалов (где интервал ${\displaystyle U_{n}=(a_{n},b_{n})\subseteq \mathbb {R} }$ имеет длину ${\displaystyle \operatorname {length} (U_{n})=b_{n}-a_{n}}$ такой что $${\displaystyle A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }U_{n}\ ~{\text{и}}~\ \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {length} (U_{n})<\varepsilon \,,}$$тогда ${\displaystyle A}$ является множеством меры 0^[1].

В терминологии математического анализа это определение требует, чтобы существовала последовательность открытых покрышек ${\displaystyle A}$, для которых предел длин крышек равен нулю.

Пусть ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ — измеримое пространство. У нас есть:

• ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$ (по определению ${\displaystyle \mu }$).
• Любое счётное объединение множеств меры 0 само является множеством меры 0 (в силу счётной субаддитивности ${\displaystyle \mu }$).
• Любое (измеримое) подмножество множества меры 0 само является множеством меры 0 (в силу монотонности ${\displaystyle \mu }$).

Вместе эти факты показывают, что нулевые множества ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ образуют 𝜎-идеал 𝜎-алгебры ${\displaystyle \Sigma }$ . Соответственно, множества меры 0 можно интерпретировать как пренебрежимо малые множества, что приводит к понятию теории меры « почти всюду».

Мера Лебега — это стандартный способ присвоения длины, площади или объёма подмножествам евклидова пространства .

Подмножество ${\displaystyle N}$ из ${\displaystyle \mathbb {R} }$ имеет нулевую меру Лебега и считается множеством меры 0 в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ тогда и только тогда, когда:

для любого положительного числа ${\displaystyle \varepsilon }$ есть последовательность ${\displaystyle I_{1},I_{2},\ldots }$ интервалов в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ такая, что ${\displaystyle N}$ содержится в объединении ${\displaystyle I_{1},I_{2},\ldots }$ и общая длина объединения меньше, чем ${\displaystyle \varepsilon .}$

Это условие можно обобщить для ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ с использованием ${\displaystyle n}$-кубов вместо интервалов. На самом деле, этой идее можно придать смысл на любом многообразии, даже если там нет меры Лебега.

Например:

• В отношении ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ все одноэлементные множества имеют меру 0, и, следовательно, все счётные множества равны нулю. В частности, множество ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ рациональных чисел является множеством меры 0, несмотря на то, что оно всюду плотно в ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• Стандартное построение множества Кантора является примером несчётного множества меры 0 в ${\displaystyle \mathbb {R} ;}$ однако возможны и другие конструкции, которые присваивают множеству Кантора какую-либо (например, ненулевую) меру.
• Все подмножества ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, размерность которых меньше ${\displaystyle n}$ имеют нулевую меру Лебега в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Например, прямые линии или окружности являются множествами меры 0 в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$
• Лемма Сарда: множество критических значений гладкой функции имеет меру нуль.

Если ${\displaystyle \lambda }$ является мерой Лебега для ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и π — мера Лебега для ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, то мера произведения ${\displaystyle \lambda \times \lambda =\pi .}$ В терминах нулевых множеств следующая эквивалентность была названа теоремой Фубини :^[2]

• Для ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{2}}$ и ${\displaystyle A_{x}=\{y:(x,y)\in A\},}$$${\displaystyle \pi (A)=0\iff \lambda \left(\left\{x:\lambda \left(A_{x}\right)>0\right\}\right)=0.}$$

Нулевые множества играют ключевую роль в определении интеграла Лебега: если функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ равны, за исключением множества меры 0, то ${\displaystyle f}$ интегрируемо тогда и только тогда, когда ${\displaystyle g}$ интегрируемо, и их интегралы равны. Это мотивирует формальное определение ${\displaystyle L^{p}}$ пространства как множества классов эквивалентности функций, которые различаются только на множествах меры 0.

Мера, в которой все подмножества множеств меры 0 измеримы, является полной. Любую неполную меру можно дополнить, образовав полную меру, утверждая, что подмножества множеств меры 0 имеют меру ноль. Мера Лебега является примером полной меры; в некоторых конструкциях она определяется как завершение неполной меры Бореля.

Мера Бореля не является полной. Одна из простых конструкций — начать со стандартного множества Кантора. ${\displaystyle K,}$ которое замкнуто, следовательно, измеримо по Борелю, и которое имеет меру ноль, и найти подмножество ${\displaystyle F}$ из ${\displaystyle K}$, которое не измеримо по Борелю. (Поскольку мера Лебега является полной, это ${\displaystyle F}$ безусловно измеримо по Лебегу.)

Во-первых, мы должны знать, что каждое множество положительной меры содержит неизмеримое подмножество. Пусть ${\displaystyle f}$ — это канторова функция, непрерывная функция, которая локально постоянна на ${\displaystyle K^{c}}$ и монотонно возрастает на ${\displaystyle [0,1]}$, с ${\displaystyle f(0)=0}$ и ${\displaystyle f(1)=1.}$ Очевидно, что ${\displaystyle f(K^{c})}$ счётно, так как оно содержит одну точку на каждую компоненту ${\displaystyle K^{c}}$. Следовательно, ${\displaystyle f(K^{c})}$ имеет нулевую меру, так что ${\displaystyle f(K)}$ имеет меру один. Нам нужна строго монотонная функция, поэтому рассмотрим ${\displaystyle g(x)=f(x)+x}$. Поскольку ${\displaystyle f(x)}$ строго монотонна и непрерывна, она является гомеоморфизмом. Более того, ${\displaystyle g(K)}$ имеет меру один. Пусть ${\displaystyle E\subseteq g(K)}$ — это неизмеримое множество, и пусть ${\displaystyle F=g^{-1}(E).}$ Поскольку ${\displaystyle g}$ инъективна, мы имеем ${\displaystyle F\subseteq K}$, и, следовательно, ${\displaystyle F}$ является множеством меры 0. Однако, если бы оно было измеримым по Борелю, то ${\displaystyle f(F)}$ также было бы борелевским измеримым (здесь мы используем тот факт, что прообраз борелевского множества при непрерывной функции является измеримым; ${\displaystyle g(F)=(g^{-1})^{-1}(F)}$ — это прообраз ${\displaystyle F}$ через непрерывную функцию ${\displaystyle h=g^{-1}.}$) Таким образом, ${\displaystyle F}$ имеет нулевую меру, но не является борелевским измеримым множеством.

В сепарабельном банаховом пространстве ${\displaystyle (X,\|\cdot \|).}$ сложение перемещает любое подмножество ${\displaystyle A\subseteq X}$ к сдвигу ${\displaystyle A+x}$ на любого ${\displaystyle x\in X.}$ Когда существует вероятностная мера μ на σ-алгебре борелевских подмножеств ${\displaystyle X,}$ такая, что для всех ${\displaystyle x,}$${\displaystyle \mu (A+x)=0,}$ то ${\displaystyle A}$ является множеством меры 0 по Хаару.^[3]

Термин относится к нулевой инвариантности мер трансляций (переносов), связывая её с полной инвариантностью, найденной с помощью меры Хаара.

Некоторые алгебраические свойства топологических групп связаны с размером подмножеств и множествами меры 0 по Хаару.^[4] Множества меры 0 по Хаару использовались в польских группах, чтобы показать, что когда A не является разрежённым множеством, то ${\displaystyle A^{-1}A}$ содержит открытую окрестность элемента идентичности.^[5] Это свойство названо в честь Гуго Штейнгауза, поскольку оно является следствием теоремы Штейнгауза.

• Канторова лестница

• Capinski, Marek. Measure, Integral and Probability / Marek Capinski, Ekkehard Kopp. — Springer, 2005. — P. 16. — ISBN 978-1-85233-781-0.
• Jones, Frank. Lebesgue Integration on Euclidean Spaces. — Jones & Bartlett, 1993. — P. 107. — ISBN 978-0-86720-203-8.
• Oxtoby, John C. Measure and Category. — Springer-Verlag, 1971. — P. 3. — ISBN 978-0-387-05349-3.

На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии. Пожалуйста, установите ссылки в соответствии с принятыми рекомендациями. (19 сентября 2024)