Нётерово кольцо — Википедия
Нётерово кольцо́ — тип колец, обобщение кольца главных идеалов. Названы в честь Эмми Нётер.
Определение
[править | править код]Нётерово кольцо — ассоциативное кольцо с единичным элементом, в котором выполняется следующее условие обрыва возрастающих цепей:
- всякая последовательность идеалов (для некоммутативных колец — левых идеалов) стабилизируется, то есть начиная с некоторого .
Замечания
[править | править код]- Если в определении заменить возрастающие цепи на убывающие, то получается определение артинова кольца.
Примеры
[править | править код]- Поле, поскольку в нём всего два идеала — и само поле.
- Кольцо главных идеалов.
- Например, кольцо многочленов от одной переменной над полем. (Однако не всякое нётерово кольцо является кольцом главных идеалов.)
- Кольца многочленов от конечного числа переменных над полем являются нётеровыми (но не являются кольцами главных идеалов при числе переменных, большем 1).
Свойства
[править | править код]- Кольцо нётерово тогда и только тогда, когда в любом непустом множестве идеалов существует максимальный элемент.
- Кольцо нётерово тогда и только тогда, когда любой идеал конечно порождён.
- Теорема Гильберта о базисе: для любого нётерова кольца кольцо многочленов — нётерово.
- В частности, тоже нётерово.
- В коммутативных нётеровых кольцах верна теорема Ласкера — Нётер, согласно которой любой идеал допускает примарное разложение.
См. также
[править | править код]Литература
[править | править код]- Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру, — М.: Мир, 1972.
- Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра, — М.: ИЛ, 1963.
- Ленг С. Алгебра, — М.: Мир, 1968.