Окружность на сфере — Википедия

Окру́жность на сфе́ре (круг на ша́ре^[1]) — сечение сферы плоскостью^{[2][1][3][4][5]}.

Различают следующие два вида окружностей на сфере, два вида сечений сферы плоскостью^[6].

Большая окружность (большой круг), или геодезическая линия^[7], — окружность на сфере, плоскость сечения которой есть диаметральная плоскость, то есть проходит через центр сферы^[6].

Сферическое расстояние между двумя точками сферы — длина дуги большой окружности, проходящей через эти две токи и не превосходящей полуокружности^[8].

Малая окружность (малый круг^[1]) — окружность на сфере, плоскость сечения которой отлична от диаметральной плоскости, то есть не проходит через центр сферы^[9], другими словами, это окружность на сфере, отличная от большой окружности^[1].

Сферический центр большой окружности на сфере — точка пересечения сферы с осью окружности, то есть диаметром сферы, перпендикулярным к плоскости сечения^[1].

Любая большая сферическая окружность имеет два диаметрально противоположных сферических центра^[1].

Полюс большой окружности — её сферический центр, при этом сама большая окружность называется полярой полюса^[1][10].

Окружность на сфере (круг на шаре^[1]) — сечение сферы плоскостью^{[2][1][3][4][5]}.

Покажем, что действительно при сечении сферы плоскостью получается окружность. Опустим из центра сферы перпендикуляр на секущую плоскость, затем повернём трёхмерное пространство на произвольный угол вокруг этого перпендикуляра. При таком повороте сфера и плоскость перейдут сами в себя, а с ними и кривая их пересечения. Следовательно, точка пересечения перпендикуляра с плоскостью находится от любой точки кривой пересечения на фиксированном расстоянии, то есть эта кривая — окружность с центром в точке пересечения перпендикуляра с плоскостью^[11].

Различают следующие два вида окружностей на сфере, два вида сечений сферы плоскостью^[6].

Диаметральная плоскость сферы — плоскость, проходящая через центр сферы.

Большая окружность (большой круг), или геодезическая линия^[7], — окружность на сфере, плоскость сечения которой есть диаметральная плоскость^[6].

Сферическое расстояние между двумя точками сферы — длина дуги большой окружности, проходящей через эти две токи и не превосходящей полуокружности, поскольку эта дуга есть кратчайшая линия, соединяющая две точки на сфере^[8].

Малая окружность (малый круг^[1]) — окружность на сфере, плоскость сечения которой отлична от диаметральной плоскости, то есть не проходит через центр сферы^[9], другими словами, это окружность на сфере, отличная от большой окружности^[1].

Найдём формулу для радиуса окружности на сфере. Поскольку этот радиус ${\displaystyle \rho }$ есть катет прямоугольного треугольника (см. рисунок справа с окружностью на сфере и с прямоугольным треугольником) с гипотенузой, равной радиусу сферы ${\displaystyle r}$, и вторым катетом, равным длине перпендикуляра ${\displaystyle h}$, опущенного из центра сферы на плоскость сечения, то по теореме Пифагора получаем^[6]:

${\displaystyle \rho ={\sqrt {r^{2}-h^{2}}}}$.

Эта формула показывает, что^[6]:

• большая окружность имеет максимальный радиус ${\displaystyle \rho =r}$, поскольку ${\displaystyle h=0}$;
• малая окружность имеет меньший радиус ${\displaystyle \rho <r}$, поскольку ${\displaystyle h>0}$.

Диаметрально противоположные точки на сфере — две точки на сфере, соединённые её диаметром.

Предложение 1. Через две любые точки на сфере, которые не диаметрально противоположны, проходит единственная большая окружность (см. рисунок справа с такой большой окружностью)^[6].

Доказательство. Поскольку через три любые точки трёхмерного пространства, которые не лежат на одной прямой, проходит единственная плоскость, то через две любые точки на сфере, которые не диаметрально противоположны, и через центр сферы проходит единственная диаметральная плоскость^[6].

Плоская аналогия. На плоскости через две любые точки проходит единственная прямая^[6].

Предложение 2. Через две любые диаметрально противоположные точки на сфере проходит бесконечное множество больших окружностей (см. рисунок слева с двумя парами диаметрально противоположных точек)^[6].

Предложение 3. Две любые большие окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках (см. рисунок справа с двумя большими окружностями)^[6].

Доказательство. Две любые диаметральные плоскости сферы всегда пересекаются по диаметру сферы^[6].

Отсутствие плоской аналогии. На плоскости две любые прямые пересекаются не более чем в одной точке^[6].

Предложение 1. Большая окружность разбивает сферу на две части — на два сферических сегмента, которые суть полусферы (см. рисунок справа с двумя полусферами)^[6].

Доказательство. Плоскость делит трёхмерное пространство на два полупространства^[6].

Плоская аналогия. На плоскости прямая разбивает плоскость на две полуплоскости^[12].

Предложение 2. Две большие окружности разбивает сферу на четыре части — на четыре двуугольника (см. рисунок слева с четырьмя частями сферы)^[6].

Доказательство. Две пересекающиеся плоскости делят трёхмерное пространство на четыре части^[6].

Плоская аналогия. На плоскости две пересекающиеся прямые разбивают плоскость на четыре части^[12].

Предложение 3. Три большие окружности, не пересекающиеся в одной точке, разбивает сферу на восемь частей — на восемь сферических треугольников (см. рисунок справа с восемью частями сферы)^[6].

Доказательство. Три пересекающиеся в одной точке плоскости делят трёхмерное пространство на восемь частей^[6].

Эти восемь сферических треугольника разбиваются на четыре пары диаметрально противоположных^[12].

Отсутствие плоской аналогии. На плоскости три попарно пересекающиеся прямые, не проходящие сразу все три через одну точку, разбивают плоскость на семь частей (см. рисунок слева с тремя прямыми)^[12].

Сферический центр большой окружности на сфере — точка пересечения сферы с осью окружности, то есть диаметром сферы, перпендикулярным к плоскости сечения (см. рисунок справа с двумя сферическими центрами)^[1].

Любая большая сферическая окружность имеет два диаметрально противоположных сферических центра^[1].

Полюс большой окружности — её сферический центр, при этом сама большая окружность называется полярой полюса^[1][10].

Каждая пара диаметрально противоположных точек на сфере имеет единственную поляру, для которой эти точки суть полюсы^[13].

Пример. Полюсы экватора Земли суть оба её географические полюсы — Северный и Южный^[13].

Полюс отстоит от поляры на четверть окружности, то есть на ${\displaystyle 90^{\circ }}$ (см. рисунок справа с тремя парами полюсов)^[14].

Полярно сопряжённые точки на сфере — точка на большой окружности и любой из двух её полюсов, другими словами, на сфере две точки полярно сопряжены, если диаметры сферы, проходящие через них, перпендикулярны^[13].

Предложение 1. Через три любые точки на сфере, которые не лежат вместе на большой окружности, проходит единственная малая окружность (см. рисунок справа с такой малой окружностью)^[15].

Доказательство. Через три любые точки на сфере проходит единственная плоскость^[15].

Предложение 2. Малая окружность разбивает сферу на две части — на два сферических сегмента(см. рисунок справа с малой окружностью)^[15].

Доказательство. Плоскость делит трёхмерное пространство на два полупространства^[15].

Сферический круг — меньший из двух сферических сегментов, нв которые разбивает сферу его граница — малая окружность, то есть тот сферический сегмент, который не выходит за пределы полусферы^[15].

Предложение 1. Окружность на сфере есть геометрическое место точек этой сферы, сферическое расстояние которых одинаково как от некоторой фиксированной точки сферы, так и от её диаметрально противоположной (см. рисунок справа с малой окружностью)^[16].

Доказательство. Опустим из центра сферы перпендикуляр на секущую плоскость, затем повернём трёхмерное пространство на произвольный угол вокруг этого перпендикуляра. При таком повороте сфера и плоскость перейдут сами в себя, а с ними и окружность — кривая их пересечения. Следовательно, сферическое расстояние между точкой пересечения перпендикуляра со сферой и любой точки окружности фиксировано. Обратно, геометрическое место точек сферы, равноудалённых от её данной точки, есть окружность, то есть переходит само в себя при повороте вокруг диаметра сферы, конец которого — эта точка. Этим же свойством обладает и диаметрально противоположная точка^[15].

Сферический центр малой окружности — точка на сфере, для которой фиксированное сферическое расстояние от неё до точек данной малой окружности меньше ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}r}$, где ${\displaystyle r}$ — радиус сферы (см. рисунок справа со сферическим центром ${\displaystyle A}$)^[17].

Сферический радиус малой окружности — сферическое расстояние от точек малой окружности до её сферического центра (см. рисунок справа со сферическим радиусом ${\displaystyle R}$)^[17].

Предложение 2. Сферический центр малой окружности лежит на сферическом круге, ограниченном этой малой окружностью^[17].

Для большой окружности два её сферических центра суть её полюсы, а сферическим радиусом можно считать число ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}r}$, где ${\displaystyle r}$ — радиус сферы^[17].

Пример. Теоретически при наблюдении в открытом море возникают два малых круга:

• с учётом рефракции — видимый горизонт наблюдателя, сферический радиус которого называется дальностью видимого горизонта;
• без учёта рефракции — теоретический видимый горизонт, сферический радиус которого называется теоретической дальностью видимого горизонта,

поэтому просто дальность всегда больше теоретической дальности. На практике при расчётах теоретическую дальность заменяют приближённой — расстоянием от глаза наблюдателя по касательной к теоретической линии горизонта. Сферический радиус — дальность видимого горизонта — измеряется в морских милях, а не в градусах или радианах, как в математике^[18].

Предложение 1. Малая окружность сферы — геометрическое место точек сферы, которые:

• равноудалены от некоторой фиксированной большой окружности;
• находятся по одну сторону от этой большой окружности.

И наоборот (см. рисунок справа с малой и большой окружностями)^[17].

Доказательство. Пусть дана малая окружность на сфере. Рассмотрим поляру её сферического центра — большую окружность. Плоскость этой большой окружности перпендикулярна плоскостям больших окружностей, которые проходят через сферический центр малой окружности. Поэтому сферическое расстояние от точек данной малой окружности до этой большой окружности одинаково и равно дополнению сферического радиуса малой окружности до ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}r}$, где ${\displaystyle r}$ — радиус сферы^[17].

Обратно. Геометрическое место точек сферы, равноудалённых от данной фиксированной большой окружности и находящихся от неё по одну сторону, есть геометрическое место точек, равноудалённых от одного из её полюсов, то есть малая окружность. Предложение доказано^[17].

База малой окружности — большая окружность, плоскость которой параллельна плоскости данной малой окружности (см. рисунок справа с красной базой)^[17].

Параметр малой окружности — сферическое расстояние от точек данной малой окружности до её базы (см. рисунок справа с параметром ${\displaystyle P}$)^[17].

Предложение 2. Для малой окружности сумма сферического радиуса ${\displaystyle R}$ и параметра ${\displaystyle P}$ равна ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}r}$^[17].

Предложение 1. Пусть дана окружность сферы радиуса ${\displaystyle R}$ и параметра ${\displaystyle P={\frac {\pi }{2}}r-R}$. Тогда её длина ${\displaystyle C}$ равна следующим выражениям^[19]:

${\displaystyle C=2\pi r\sin {\frac {R}{r}}=2\pi r\cos {\frac {P}{r}}}$.

Доказательство. Рассмотрим малую окружность с плоским центром ${\displaystyle Q}$, плоским радиусом ${\displaystyle \rho }$ и её произвольной точкой ${\displaystyle M}$ (см. рисунок справа с такой малой окружностью). Если ${\displaystyle O}$ — центр сферы радиуса ${\displaystyle r}$, на которой лежит эта малая окружность, то ${\displaystyle OM=r}$, ${\displaystyle QM=\rho }$ и ${\displaystyle \angle MOQ={\frac {R}{r}}}$. Из прямоугольного треугольника ${\displaystyle OQM}$ находим, что радиус малой окружности ${\displaystyle \rho =r\sin {\frac {R}{r}}}$, то есть длина окружности сферического радиуса ${\displaystyle R}$ равна ${\displaystyle C=2\pi r\sin {\frac {R}{r}}}$. Поскольку ${\displaystyle \sin {\frac {R}{r}}=\cos {\frac {P}{r}}}$, то длину малой окружности можно выразить также через её параметр ${\displaystyle P}$: ${\displaystyle C=2\pi r\cos {\frac {P}{r}}}$^[19].

Предложение 2. Площадь ${\displaystyle S}$ сферического круга радиуса ${\displaystyle R}$ на сфере радиуса ${\displaystyle r}$ равна следующему выражению^[20]:

${\displaystyle S=4\pi r^{2}\sin ^{2}{\frac {R}{2r}}}$.

Доказательство. Сферический круг, ограниченный малой окружностью сферического радиуса ${\displaystyle R}$, — это сферический сегмент с высотой (см. рисунок справа со сферическим кругом)

${\displaystyle H=r\left(1-\cos {\frac {R}{r}}\right)=2r\sin ^{2}{\frac {R}{2r}}}$,

но площадь сферического сегмента высоты ${\displaystyle H}$ равна ${\displaystyle 2\pi rH}$, поэтому площадь сферического круга радиуса ${\displaystyle R}$ равна следующему выражению^[20]:

${\displaystyle S=4\pi r^{2}\sin ^{2}{\frac {R}{2r}}}$.

• Битюцков В. И. Сферическая геометрия // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 5 Слу—Я. М.: «Советская Энциклопедия», 1985. 1248 стб., ил. Стб. 290—291.
• Битюцков В. И. Сферическая геометрия // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 571.
• Розенфельд Б. А. Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии // Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия / Гл. ред. П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. Ред. книги 4: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 518—557.
• Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. 2-е изд. М.—Л.: ОГИЗ. Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948. 154 с., ил.
• Сферическая геометрия // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1976. Т. 25. Струнино — Тихорецк. 1976. 600 с. с илл., 27 л. илл., 3 л. карт. С. 116—117.
• Файн Г. И. Навигация, лоция и мореходная астрономия. Учебник для учащихся средних проф.-техн. училищ. Специальность — судоводитель морских маломерных судов. М.: «Транспорт», 1977. 288 с., ил. и табл.

Статья является кандидатом в добротные статьи с 7 октября 2024.