Пе́рвый интегра́л системы обыкновенных дифференциальных уравнений
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{x_{1}}'&=&a_{1}(x)\\\dots &&\\{x_{n}}'&=&a_{n}(x)\end{matrix}}\right.,\quad x\in U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7e1d9318f7215f7ebc518dc94baebb572450fb5)
— дифференцируемая функция
,
, такая, что её производная по направлению векторного поля
![{\displaystyle L_{A}f=a_{1}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+\dots +a_{n}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce46e981bbf50895afe7cb07463668b8c16d3071)
для всех
из области
. Другими словами, функция
постоянна на любом решении системы, содержащемся в области
.
Первые интегралы используются при изучении автономных систем дифференциальных уравнений и решении дифференциальных уравнений в частных производных.
Пусть
— область в
,
— дифференцируемое векторное поле в
,
,
. Тогда существует такая окрестность точки
, что система дифференциальных уравнений
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{x_{1}}'&=&a_{1}(x)\\\dots &&\\{x_{n}}'&=&a_{n}(x)\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da131d1916f4b6edb023e2e81c9018ed0da54f8b)
имеет в этой окрестности ровно
функционально независимых первых интегралов.
Для уравнения
относительно функции
первым интегралом является функция
(полная энергия в физических приложениях).
- Арнольд В. И. «Обыкновенные дифференциальные уравнения». М.: Наука, 1966.
![Перейти к шаблону «External links»](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg/14px-Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg.png) Ссылки на внешние ресурсы |
---|
| |
---|