Показатель преломления — Википедия

Показатель преломления
${\displaystyle n}$
Размерность	безразмерная
Примечания
скаляр или тензор

Показа́тель преломле́ния (и́ндекс преломле́ния, и́ндекс рефра́кции) — безразмерная физическая величина, характеризующая различие фазовых скоростей света в двух средах. Для прозрачных изотропных сред, таких как газы➤, большинства жидкостей➤, аморфных веществ (например, стекло➤), употребляют термин абсолютный показатель преломления, который обозначают латинской буквой ${\displaystyle n}$ и определяют как отношение скорости света в вакууме ${\displaystyle c}$ к фазовой скорости света ${\displaystyle v}$ в данной среде^[1]:

${\displaystyle n={\frac {c}{v}}\,.}$

Например, для воды показатель преломления составляет 1,333, что означает, что в ней свет движется в 1,333 раза медленнее, чем в вакууме (примерно 225 000 км/с). В случае двух прозрачных изотропных сред говорят об относительном показателе преломления одной среды по отношению к другой➤. Если не указано иное, то обычно имеется в виду абсолютный показатель преломления. Абсолютный показатель преломления часто превышает единицу, поскольку скорость распространения света в любой среде меньше скорости света в вакууме. Однако фазовая скорость света при некоторых условиях может превышать скорость его распространения, и тогда показатель преломления может принимать значения меньше единицы➤.

Значение абсолютного показателя преломления зависит от состава и строения вещества, его агрегатного состояния, температуры, давления и так далее➤. Для веществ показатель преломления изменяется под действием внешнего электрического поля (в жидкостях и газах➤, в кристаллах➤) или магнитного поля➤. Для измерения показателя преломления применяют гониометры, рефрактометры➤ или эллипсометры➤.

Показатель преломления изменяется в зависимости от длины волны, это приводит к расщеплению белого света на составляющие цвета при преломлении. Это называется дисперсией➤. Её можно наблюдать в призмах и радугах, а также в виде хроматической аберрации в линзах. Распространение света в поглощающих материалах можно описать с помощью комплексного показателя преломления^[2][3]:

${\displaystyle {\underline {n}}=n+i\kappa }$,

где ${\displaystyle i}$ — мнимая единица, ${\displaystyle \kappa }$ — показатель поглощения. Мнимая часть ответственна за затухание, а действительная часть учитывает преломление➤.

Когда свет проходит границу раздела двух сред, то для вычисления угла преломления используют относительный показатель преломления, равный отношению абсолютных показателей преломления первой и второй сред. Относительный показатель преломления может быть больше единицы, если луч переходит в более оптически плотную среду, и меньше единицы — в противном случае^[4][1].

Если луч света переходит из среды с меньшим показателем преломления в среду с бо́льшим показателем преломления (например, из воздуха в воду), то угол между лучом и нормалью к границе раздела уменьшается после преломления. И наоборот, в случае перехода в менее оптически плотную среду угол увеличивается. Во втором случае угол преломления может превышать 90°, так что преломления не происходит вообще и весь свет отражается; это явление называется полным внутренним отражением^[5].

Частота света не меняется при преломлении. Поэтому длина волны света в среде уменьшается по сравнению с длиной волны в вакууме пропорционально уменьшению скорости света^[6].

Для видимого света большинство прозрачных сред имеют показатели преломления от 1 до 2. Несколько примеров приведены в таблице внизу➤. Эти значения обычно измеряются на длине волны 589 нм, соответствующей дублетной D-линии натрия в жёлтой части спектра^[7]. Газы при атмосферном давлении имеют показатель преломления, близкий к 1, из-за их низкой плотности. Почти все твёрдые тела и жидкости имеют показатель преломления выше 1,3, за исключением аэрогеля. Аэрогель — это твёрдое вещество очень низкой плотности, которое может демонстрировать показатель преломления в диапазоне от 1,002 до 1,265^[8]. Муассанит находится на другом конце диапазона с показателем преломления до 2,65. Большинство пластиков имеют показатели преломления в диапазоне от 1,3 до 1,7, но некоторые полимеры с высоким показателем преломления могут иметь значения до 1,76^[9].

Для инфракрасного света показатели преломления могут быть значительно выше. Германий прозрачен в диапазоне длин волн от 2 до 14 мкм и имеет показатель преломления около 4^[10]. Во второй половине 2000-х годов был обнаружен тип новых материалов, получивших название топологических изоляторов, которые имеют очень высокий показатель преломления — до 6 в ближней и средней зонах инфракрасного диапазона частот. Более того, топологические изоляторы прозрачны при наноразмерных толщинах. Эти свойства потенциально важны для приложений в инфракрасной оптике^[11].

Свет, распространяющийся в неоднородной среде, проходит из одной точки в другую за минимальное время. Из этого принципа можно вывести закон преломления света на границе раздела между средами с разными показателями преломления, который называется законом Снеллиуса^[12]. Он выражается в виде дроби^[1]

${\displaystyle {\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \theta _{2}}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}\,,}$

(Ур. 1.1)

где θ₁ и θ₂ — углы падения и преломления луча света соответственно, которые отсчитываются от нормали к границе между средами, проведённой через точку падения луча, v₁ и v₂ — фазовые скорости в первой среде (из которой падает свет, на рисунке сверху) и второй среде (в которую свет проникает, на рисунке нижняя)^[13]. Этот закон можно записать через показатели преломления двух сред, зная, что v₁ = c/n₁ и v₂ = c/n₂ (c — скорость света в вакууме)^[12]:

${\displaystyle {\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \theta _{2}}}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}\,.}$

(Ур. 1.2)

Закон Снеллиуса выполняется только для неподвижных сред. Для релятивистских скоростей поперечного движения прозрачной среды вследствие аберрации эффективный показатель преломления будет зависеть от скорости среды, что позволяет определять скорость движения среды^[14].

При падении на границу раздела двух сред только часть света проходит из среды с меньшим показателем преломления в среду с бо́льшим, а часть — отражается обратно. Чем сильнее отличаются показатели преломления сред, тем бо́льшая часть света отражается. В случае падения света по нормали к поверхности коэффициент отражения выражается как^[15]:

${\displaystyle R=\left({\frac {n_{2}-n_{1}}{n_{2}+n_{1}}}\right)^{2}\,.}$

(Ур. 1.3)

В этом случае при переходе луча света из воздуха в стекло (показатель преломления 1,5) отражается 4 % падающего света^[16], а в случае алмаза (показатель преломления 2,42^[17]) — более 17 %^[18].

Рассчитать коэффициент отражения света для произвольных углов падения и поляризации можно с помощью формул Френеля^[19].

Показатель преломления зависит от частоты света. Это явление называется дисперсией. В тех диапазонах частот, где вещество прозрачно, преломление увеличивается с частотой^[20]. Например, вода и бесцветное стекло преломляют голубой свет сильнее, чем красный^[1].

В природе этот эффект приводит к возникновению такого явления как радуга. Разложение света стеклянной призмой заложило основы спектрального анализа, который широко применяется в науке и технике. В то же время дисперсия приводит к трудностям в изготовлении оптических систем. Когда на стеклянную линзу падает пучок немонохроматического света, то лучи разных цветов фокусируются на разном расстоянии и вокруг контрастных деталей изображения образуется радужная кайма. Это явление получило название хроматической аберрации. Её компенсируют путём изготовления линз из разных сортов оптического стекла, имеющих разные показатели преломления^[21].

Из-за зависимости показателя преломления от длины волны в таблицах указывают частоту, на которой производились измерения. Обычно применяется частота жёлтой линии натрия (точнее, поскольку эта спектральная линия является двойной, применяется среднее арифметическое от длин линий дублета, 5893 Å); в этом случае показатель преломления обозначается через ${\displaystyle n_{D}}$^[22].

Для оценки дисперсии в оптическом диапазоне применяют среднюю дисперсию или главную дисперсию (${\displaystyle n_{F}-n_{C}}$), которая равна разнице показателей преломления на длинах волн красной (λ_C = 6563 Å) и синей линий водорода (λ_F = 4861 Å)^[22]. Индексы F и C обозначают соответствующие фраунгоферовы линии^[23].

• Дисперсия электромагнитных волн
• 
  Дисперсия в стеклянной призме
• 
  Типичный вид графика зависимости показателя преломления от частоты в широком диапазоне. Резкие падения связаны с инфракрасной, ультрафиолетовой и рентгеновской зонами поглощения^[24]
• 
  Зависимость показателя преломления (красный) и коэффициента поглощения (зелёный) кремния от длины волны при температуре 300 К

Другой характеристикой является число Аббе, равное:

${\displaystyle V_{D}={\frac {n_{D}-1}{n_{F}-n_{C}}}\,.}$

(Ур. 1.4)

Большее число Аббе соответствует меньшей средней дисперсии^[25].

В широком диапазоне длин волн электромагнитного излучения зависимость показателя преломления от частоты является нелинейной и состоит из участков, где показатель преломления возрастает с частотой — этот случай называется нормальной дисперсией (поскольку такая ситуация типична), — и небольших участков, где показатель преломления стремительно падает, что называется аномальной дисперсией. Участки аномальной дисперсии обычно расположены вблизи линий поглощения вещества^[26].

Интенсивности преломлённой и отражённой волн зависят от поляризации падающего света: s-поляризованный свет имеет более высокий коэффициент отражения, тогда как p-поляризованный лучше проникает в среду. Поэтому даже если на границу раздела сред падает неполяризованный свет, и преломлённый, и отражённый лучи становятся частично поляризованными (если угол падения не равен нулю). Если угол между отражённым и преломлённым лучами составляет 90°, отражённый свет становится полностью поляризованным. Угол падения, при котором это происходит, называется углом Брюстера. Его значение зависит от относительного показателя преломления сред^[27]:

${\displaystyle \operatorname {tg} \theta _{B}=n_{12}\,.}$

(Ур. 1.5)

В случае падения под таким углом преломлённый луч не становится полностью поляризованным, но степень его поляризации является максимальной^[27].

Существует другое определение показателя преломления, связывающее его с диэлектрической проницаемостью среды ε:

${\displaystyle {\frac {\varepsilon }{\varepsilon _{0}}}=n^{2}\,,}$

(Ур. 1.6)

где ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ — диэлектрическая проницаемость вакуума^[28]. Диэлектрическая проницаемость представляется в виде ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{0}(1+\chi (\omega ))}$. Она зависит от частоты и может приводить к комплексному коэффициенту преломления, так как ${\displaystyle n^{2}=1+\chi (\omega )}$^[29]. Здесь ${\displaystyle \chi (\omega )}$ — диэлектрическая восприимчивость, характеристика, специфичная для каждой среды, которая может принимать как действительные, так и комплексные значения. Она связывает поляризацию материала ${\displaystyle {\vec {P}}}$ и электрическое поле по формуле^[30]

${\displaystyle {\vec {P}}=\varepsilon _{0}\chi (\omega ){\vec {E}}\,.}$

(Ур. 1.7)

Это определение приводит к действительным значениям для немагнитных сред^[31] и описывает внутреннюю характеристику среды, которая позволяет установить, как падающая световая волна поляризует среду. И диэлектрическая проницаемость, и диэлектрическая восприимчивость являются действительными или комплексными величинами, поэтому показатель преломления также может иметь комплексные значения. Мнимая часть показателя преломления связана с поглощением среды, так что существует определённая зависимость между поляризацией материала и ослаблением световой волны в среде^[28]. Фактически размерный коэффициент поглощения вычисляется из мнимой части безразмерного показателя преломления по следующей формуле

${\displaystyle \alpha (\omega )={\frac {2\kappa (\omega )\omega }{c}}={\frac {4\pi \kappa (\omega )}{\lambda }}\,,}$

(Ур. 1.8)

где ${\displaystyle \alpha }$ описывает затухание, ${\displaystyle \lambda }$ — длина волны и ${\displaystyle \kappa (\omega )}$ — мнимая часть показателя преломления^[32].

Причины замедления света в веществе могут быть (с упрощениями) объяснены с позиций классической электродинамики. Любая заряженная частица в поле электромагнитной волны испытывает действия периодических сил, которые вызывают её колебания. Обычно важнее действие периодического электрического поля, а не магнитного, поскольку скорости частиц в среде относительно невысокие. Под действием периодического электрического поля носители электрического заряда также начинают колебаться с определённой частотой, а следовательно сами становятся источниками электромагнитных волн^[33]. Атомы всех веществ содержат электроны — лёгкие заряженные частицы, которые легко колеблются в электрическом поле волны. В случае волн оптического диапазона (частотой порядка 10¹⁵ Гц) поле, создаваемое электронами, обычно почти полностью описывает наведённое поле. Для волн меньшей частоты (инфракрасного или микроволнового излучения) заметными становятся и эффекты, вызванные перераспределением электронов между атомами в молекуле, колебания ионов в ионных кристаллах или вращение полярных молекул^[34]. Волны, создаваемые каждым электроном, интерферируют между собой, создавая волну, которая распространяется в том же направлении, что и падающая волна (а также в обратном — что воспринимается как отражение от границы сред)^[35]. Интерференция падающей и наведённой волн создаёт эффект замедления электромагнитной волны (хотя на самом деле обе волны движутся с одинаковой скоростью — скоростью света)^[36]. В общем случае вычисление поля, создаваемого колебаниями электронов, является сложной задачей, поскольку каждый электрон испытывает действие не только падающей волны, но и волны, созданной колебаниями всех остальных электронов^[35]. Простейшая модель выводится из предположения, что электроны друг на друга не действуют, что справедливо для очень разреженных сред с низким показателем преломления, таких как газы^[35].

Пусть на тонкий слой вещества толщиной ${\displaystyle \Delta z}$ падает плоская волна с циклической частотой ${\displaystyle \omega }$, распространяющаяся вдоль направления ${\displaystyle z}$. Электрическое поле (x-компонента) в ней меняется по закону^[37]:

${\displaystyle E_{s}=E_{0}e^{i\omega (t-z/c)}\,.}$

(Ур. 2.1)

Интенсивность лазерных источников света сравнительно невелика, так что напряжённость электрического поля световой волны значительно меньше напряжённости электрического поля в атоме. При таких условиях электрон в атоме можно рассматривать как гармонический осциллятор^[4] (это допустимо с позиций квантовой механики) с резонансной частотой ${\displaystyle \omega _{0}}$ (для большинства веществ эта частота лежит в ультрафиолетовом диапазоне). Движение электрона, находящегося у поверхности слоя вещества (в точке ${\displaystyle z=0}$), под действием внешней периодической силы будет описываться обычным для такой системы уравнением колебаний:

${\displaystyle m_{e}\left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}x\right)=q_{e}E_{0}e^{i\omega t}\,,}$

(Ур. 2.2)

где ${\displaystyle m_{e}}$ и ${\displaystyle q_{e}}$ — масса и заряд электрона соответственно^[38].

Решение такого уравнения имеет вид^[38]:

${\displaystyle x={\frac {q_{e}E_{0}}{m_{e}(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})}}e^{i\omega t}\,.}$

(Ур. 2.3)

Если источник излучения находится достаточно далеко и фронт падающей волны плоский, то все электроны, которые находятся в этой плоскости, движутся одинаково. Поле, создаваемое такой заряженной плоскостью, равно:

${\displaystyle E_{e}=-{\frac {\eta q_{e}}{2\varepsilon _{0}c}}\left(i\omega {\frac {q_{e}E_{0}}{m_{e}(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})}}e^{i\omega (t-z/c)}\right)\,,}$

(Ур. 2.4)

где ${\displaystyle \eta }$ — число заряженных частиц на единицу площади (поверхностная плотность заряда)^[38].

С другой стороны, если в пластинке волна замедляется в ${\displaystyle n}$ раз, то уравнение волны ур. 2.1 после прохождения через пластинку будет иметь вид^[38]:

${\displaystyle E_{s}+E_{e}=E_{0}e^{i\omega (t-(n-1)\Delta z/c-z/c)}=e^{-i\omega (n-1)\Delta z/c}E_{0}e^{i\omega (t-z/c)}\,.}$

(Ур. 2.5)

Это уравнение описывает волну, идентичную падающей, но с задержкой по фазе, которую выражает первая экспонента. В случае малой толщины пластинки можно разложить первую экспоненту в ряд Тейлора^[39]:

${\displaystyle E_{s}+E_{e}=(1-i\omega (n-1)\Delta z/c)E_{0}e^{i\omega (t-z/c)}\,.}$

(Ур. 2.6)

Таким образом, поле, создаваемое веществом, описывается формулой^[39]:

${\displaystyle E_{e}=-{\frac {i\omega (n-1)\Delta z}{c}}E_{0}e^{i\omega (t-z/c)}\,.}$

(Ур. 2.7)

Сравнивая это выражение с выражением, полученным для поля ур. 2.4, созданного колебаниями электронов плоскости, можно получить^[39]:

${\displaystyle (n-1)\Delta z={\frac {\eta q_{e}^{2}}{2\varepsilon _{0}m_{e}(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})}}\,.}$

(Ур. 2.8)

Поскольку число зарядов на единицу площади равно концентрации электронов ${\displaystyle N}$, умноженной на толщину пластинки, величина показателя преломления равна:

${\displaystyle n=1+{\frac {Nq_{e}^{2}}{2\varepsilon _{0}m_{e}(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})}}\,,}$

(Ур. 2.9)

где ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ — электрическая постоянная^[40].

Эта формула также описывает зависимость показателя преломления от частоты падающей волны, то есть дисперсию^[40]. В общем случае необходимо учитывать, что каждый атом содержит много электронов, имеющих различные резонансные частоты. Их вклады должны суммироваться в правой части уравнения^[41]. В интенсивных световых потоках напряжённость электрического поля волны может быть соразмерна с внутриатомной. В таких условиях модель гармонического осциллятора становится неприменимой^[4].

Модель ангармонического осциллятора с затуханием оказывается полезной для качественного рассмотрения зависимости показателя преломления в кристаллах без центра инверсии от постоянного электрического поля. Уравнение Ньютона для ангармонического осциллятора записывается в виде^[42]

${\displaystyle {\ddot {r}}+2\gamma {\dot {r}}+\omega _{0}^{2}r+\beta r^{2}=-{\frac {e}{m_{e}}}E_{0}\,,}$

(Ур. 2.10)

где ${\displaystyle r}$ — координата, ${\displaystyle \omega _{0}}$ — резонансная частота, ${\displaystyle \beta }$ — постоянная ангармоничности, ${\displaystyle \gamma }$ — описывает затухание, ${\displaystyle E_{0}}$ — постоянное электрическое поле, ${\displaystyle m_{e}}$ — масса электрона, а точки над координатой обозначают полную производную по времени. Для ангармонического осциллятора положение равновесия ${\displaystyle r_{0}}$ определяется уравнением^[42]

${\displaystyle \omega _{0}^{2}r_{0}+\beta r_{0}^{2}=-eE_{0}/m_{e}\,.}$

(Ур. 2.11)

При отсутствии ангармонического вклада гармонический осциллятор совершает колебания с резонансной частотой около нового положения равновесия из-за наличия электрического поля. В присутствии малого ангармонического вклада можно принять новое положение равновесия за начало координат, подставив в уравнение движения ${\displaystyle r=r_{0}+q}$. Ввиду малости ангармонического вклада колебание осциллятора в новых координатах примет вид^[43]

${\displaystyle {\ddot {q}}+2\gamma {\dot {q}}+(\omega _{0}^{2}+2\beta r_{0})q=0\,.}$

(Ур. 2.12)

Новое уравнение описывает колебания со сдвинутой резонансной частотой, то есть при наличии ангармонизма внешнее постоянное поле не только сдвигает положение равновесия осциллятора, но и изменяет квадрат резонансной частоты на величину ${\displaystyle 2\beta r_{0}}$. В результате сдвига резонансной частоты изменяется и закон дисперсии и, соответственно, показатель преломления на величину

${\displaystyle \Delta n={\frac {\partial n}{\partial \omega }}{\frac {e\beta }{m_{e}\omega \omega _{0}^{2}}}E_{0}\,.}$

(Ур. 2.13)

Электрическое поле — это выделенное направление в кристалле, поэтому в среде возникает зависимость дисперсии от направления распространения света — двулучепреломление. Это явление называется эффектом Поккельса. Как видно из качественной модели, это линейный по электрическому полю эффект^[43]. Этот эффект находит применение в модуляторах света^[44].

Из уравнений Максвелла можно получить формулу, связывающую скорость света в веществе с диэлектрической и магнитной проницаемостями вещества (обозначаются буквами ${\displaystyle \varepsilon }$ и ${\displaystyle \mu }$ соответственно)^[45]

${\displaystyle v={\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}\,.}$

(Ур. 3.1)

Таким образом, показатель преломления определяется характеристиками среды^[46]:

${\displaystyle n={\frac {c}{v}}={\sqrt {\varepsilon \mu }}\,.}$

(Ур. 3.2)

Магнитная проницаемость очень близка к единице в большинстве реальных прозрачных веществ, поэтому последнюю формулу иногда упрощают до ${\displaystyle n={\sqrt {\varepsilon }}}$. В данном случае, если относительная диэлектрическая проницаемость ${\displaystyle {\underline {\varepsilon }}}$ имеет комплексную форму с вещественной и мнимой частями ${\displaystyle \varepsilon }$ and ${\displaystyle {\tilde {\varepsilon }}}$, то комплексный показатель преломления связан с вещественной и мнимой частями по формуле

${\displaystyle {\underline {\varepsilon }}=\varepsilon +i{\tilde {\varepsilon }}={\underline {n}}^{2}=(n+i\kappa )^{2}\,,}$

(Ур. 3.3)

где

${\displaystyle \varepsilon =n^{2}-\kappa ^{2},\qquad {\tilde {\varepsilon }}=2n\kappa \,}$

(Ур. 3.4)

или наоборот

${\displaystyle n={\sqrt {\frac {|{\underline {\varepsilon }}|+\varepsilon }{2}}},\qquad \kappa ={\sqrt {\frac {|{\underline {\varepsilon }}|-\varepsilon }{2}}}\,,}$

(Ур. 3.5)

где ${\displaystyle |{\underline {\varepsilon }}|={\sqrt {\varepsilon ^{2}+{\tilde {\varepsilon }}^{2}}}}$ — абсолютное значение^[47].

Диэлектрическая проницаемость в этой формуле может значительно отличаться от табличных значений, поскольку в таблицах обычно приведены значения проницаемости в постоянном электрическом поле. В быстро меняющемся поле (именно такое поле создаёт электромагнитная волна) молекулы не успевают поляризоваться, что приводит к уменьшению диэлектрической проницаемости. Особенно это касается полярных молекул, таких как вода: диэлектрическая проницаемость воды в постоянном электрическом поле ${\displaystyle \varepsilon =81}$, однако для полей, изменяющихся с частотой 10¹⁴—10¹⁵ Гц (оптический диапазон), она падает до 1,78^[48].

Для комплексного показателя преломления, зависящего от энергии ${\displaystyle E}$, реальная и мнимая части показателя преломления являются зависящими друг от друга величинами — они связаны соотношениями Крамерса — Кронига^[49]

${\displaystyle n(E)=1+{\frac {2}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x\kappa (E)}{x^{2}-E^{2}}}dx\,,}$

(Ур. 3.6)

${\displaystyle \kappa (E)=-{\frac {2E}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{0}^{\infty }{\frac {n(x)-1}{x^{2}-E^{2}}}dx\,,}$

(Ур. 3.7)

где символ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ обозначает главное значение в смысле Коши^[50].

В случае кристаллов и других анизотропных сред диэлектрическая проницаемость зависит от кристаллографического направления и описывается тензором, поэтому показатель преломления является тензорной величиной^[51].

Важным соотношением, связывающим показатель преломления с микроскопическими свойствами вещества, является формула Лоренца — Лоренца:

${\displaystyle {\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}={\frac {4\pi \alpha N}{3}}\,,}$

(Ур. 3.8)

где ${\displaystyle \alpha }$ — электронная поляризуемость молекул, которая зависит от частоты, а ${\displaystyle N}$ — их концентрация. Если преломляющая среда является смесью нескольких веществ, в правой части уравнения будет стоять несколько слагаемых, каждое из которых соответствует отдельной компоненте^[52]. В анализе атмосферы коэффициент преломления принимается равным N = n − 1. Атмосферная рефракция часто выражается как N = 10⁶ (n − 1) или N = 10⁸ (n − 1). Коэффициенты умножения используются потому, что показатель преломления для воздуха, n, отклоняется от единицы не более чем на несколько частей на десять тысяч^[53].

С другой стороны, молярная рефракция является мерой общей поляризуемости одного моля вещества и может быть рассчитана на основе показателя преломления как:

${\displaystyle K={\frac {4}{3}}\pi N_{A}\alpha ={\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}\cdot {\frac {M}{\rho }}\,,}$

(Ур. 3.9)

где ${\displaystyle M}$ — молекулярная масса, ${\displaystyle N_{A}}$ — постоянная Авогадро, ${\displaystyle \rho }$ — плотность вещества^[54]. Она почти не зависит от давления, температуры и даже агрегатного состояния и является характеристикой поляризуемости молекул конкретного вещества^[55].

В простом случае газа при небольшом давлении показатель преломления выражается как^[56]

${\displaystyle n={\sqrt {1+2\pi N\alpha }}\,.}$

(Ур. 3.10)

Формула Лоренца — Лоренца (ур. 3.8) выведена в предположении изотропности среды, поэтому справедлива для газов, жидкостей, аморфных тел. Однако и для многих других веществ она часто выполняется с хорошей точностью (погрешность не превышает нескольких процентов). Пригодность формулы для конкретного вещества определяется экспериментально. Для некоторых классов веществ, например, пористых материалов, погрешность может достигать десятков процентов^[57]. Область применения формулы ограничивается видимым и ультрафиолетовым диапазонами спектра и исключает диапазоны поглощения в веществе. Для низших частот необходимо учитывать не только электронную поляризацию, но и атомную (поскольку ионы в ионных кристаллах и атомы в молекулах успевают сместиться в поле низкой частоты)^[52].

Для полярных диэлектриков в случае волн большой длины также необходимо учитывать ориентационную поляризуемость, природа которой заключается в изменении ориентации дипольных молекул вдоль силовых линий поля. Для газов, состоящих из полярных молекул, или сильно разбавленных растворов полярных веществ в неполярных растворителях вместо формулы Лоренца — Лоренца необходимо использовать формулу Ланжевена — Дебая:

${\displaystyle {\frac {\varepsilon -1}{\varepsilon +2}}{\frac {M}{\rho }}={\frac {4\pi N_{A}}{3\varepsilon _{0}}}\left(\alpha _{0}+{\frac {p^{2}}{3k_{B}T}}\right)\,,}$

(Ур. 3.11)

где ${\displaystyle \alpha _{0}}$ — сумма ионной и электронной поляризуемости, ${\displaystyle p}$ — дипольный момент молекул (атомов), ${\displaystyle k_{B}}$ — постоянная Больцмана, ${\displaystyle T}$ — температура^[34][58].

Как правило, вещества с большей плотностью имеют более высокий показатель преломления. Для жидкостей показатель преломления обычно больше, чем для газов, а для твёрдых тел — больше, чем для жидкостей^[59]. Однако количественная связь между показателем преломления и плотностью может быть разной для разных классов веществ. Существует несколько эмпирических формул, позволяющих оценить эту связь численно^[60]. Наиболее известное соотношение следует из формулы Лоренца — Лоренца (ур. 3.9):

${\displaystyle {\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}\cdot {\frac {1}{\rho }}=r\,,}$

(Ур. 3.12)

которое хорошо описывает газы, а также удовлетворительно выполняется в случае изменения агрегатного состояния вещества^[60]. Величину ${\displaystyle r}$ иногда называют удельной рефракцией^[61].

В случае газов при низком давлении это выражение сводится к ещё более простому, известному как формула Гладстона — Дейла^{[англ.][62]}:

${\displaystyle {\frac {n-1}{\rho }}=const\,.}$

(Ур. 3.13)

Уменьшение плотности воздуха с высотой (соответственно, уменьшение показателя преломления) вызывает рефракцию света в атмосфере, что приводит к смещению видимого положения небесных светил. Вблизи горизонта такое смещение достигает 30 угловых минут (то есть размера диска Солнца или Луны)^[63]. Неоднородный показатель преломления атмосферы может приводить к более раннему восходу Солнца, что наблюдается в северных широтах^[64].

Для некоторых немагнитных сред точную оценку можно получить с помощью формулы, полученной Макдональдом:

${\displaystyle {\frac {n^{2}-1}{n\cdot \rho }}=const\,.}$

(Ур. 3.14)

Она лучше описывает показатель преломления для воды, бензола и других жидкостей^[60].

Также существует зависимость показателя преломления от других связанных с плотностью величин, в частности она уменьшается при увеличении температуры (из-за уменьшения концентрации частиц вследствие термического расширения)^[59]. По тем же причинам при увеличении давления показатель преломления возрастает^[65].

Как правило, показатель преломления стекла увеличивается с увеличением его плотности. Однако не существует общей линейной зависимости между показателем преломления и плотностью для всех силикатных и боросиликатных стёкол. Относительно высокий показатель преломления и низкая плотность могут быть получены для стёкол, содержащих оксиды лёгких металлов, таких как Li₂O и MgO, тогда как противоположная тенденция наблюдается для стёкол, содержащих PbO и BaO, как показано на диаграмме справа^[66].

Многие масла (например, оливковое масло) и этанол являются примерами жидкостей, которые обладают более высокими коэффициентами преломления, но менее плотны, чем вода, вопреки общей корреляции между плотностью и показателем преломления^[67].

Для воздуха ${\displaystyle n-1}$ пропорционально плотности газа до тех пор, пока химический состав не меняется. Это означает, что оно также пропорционально давлению и обратно пропорционально температуре для идеальных газов^[68].

В неравномерно нагретом воздухе вследствие изменения показателя преломления траектория лучей света искривляется и наблюдаются миражи. Для «нижнего» миража приповерхностный слой нагрет, поэтому показатель преломления меньше, чем у более холодного воздуха выше. Траектория световых лучей будет искривляться так, что выпуклость траектории обращена вниз и часть голубого неба будет видеться наблюдателю ниже уровня горизонта, что похоже на воду. Для «верхних» миражей выпуклость траектории обращена вверх из-за более плотного и холодного приповерхностного слоя. В этом случае возможно заглянуть за горизонт и увидеть предметы, скрытые от прямого наблюдения^[69].

В нефтехимии применяется производный от плотности показатель — рефрактометрическая разница или интерцепт рефракции:

${\displaystyle RI=n-{\frac {\rho }{2}}\,.}$

(Ур. 3.15)

Эта величина одинакова для углеводородов одного гомологического ряда^[70].

Оптическая длина пути (OPL) — это произведение геометрической длины ${\displaystyle d}$ пути света, проходящего через систему, и показателя преломления среды, через которую он распространяется^[71],

${\displaystyle {\text{OPL}}=nd\,.}$

(Ур. 3.16)

Это понятие определяет фазу света и управляет интерференцией и дифракцией света при его распространении. Согласно принципу Ферма, световые лучи можно охарактеризовать как кривые, оптимизирующие длину оптического пути^[72].

Фокусное расстояние линзы определяется её показателем преломления ${\displaystyle n}$ и радиусами кривизны ${\displaystyle R_{1}}$ и ${\displaystyle R_{2}}$ образующих её поверхности. Сила тонкой линзы в воздухе определяется формулой линзы:

${\displaystyle {\frac {1}{f}}=(n-1)\!\left({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)\,,}$

(Ур. 3.17)

где ${\displaystyle f}$ — фокусное расстояние линзы^[73].

Разрешение хорошего оптического микроскопа в основном определяется числовой апертурой (NA) его объектива. Числовая апертура, в свою очередь, определяется показателем преломления ${\displaystyle n}$ среды, заполняющей пространство между образцом и линзой, и половинным углом сбора света ${\displaystyle \theta }$ согласно^[74]

${\displaystyle \mathrm {NA} =n\sin \theta \,.}$

(Ур. 3.18)

По этой причине для получения высокого разрешения в микроскопии часто используется масляная иммерсия. В этом методе для исследования образцов объектив погружается в каплю жидкости с высоким показателем преломления (иммерсионного масла, глицерина или воды)^[75].

Волновое сопротивление плоской электромагнитной волны в непроводящей среде (без затухания) определяется выражением

${\displaystyle Z={\sqrt {\frac {\mu }{\varepsilon }}}={\sqrt {\frac {\mu _{\mathrm {0} }\mu _{\mathrm {r} }}{\varepsilon _{\mathrm {0} }\varepsilon _{\mathrm {r} }}}}={\sqrt {\frac {\mu _{\mathrm {0} }}{\varepsilon _{\mathrm {0} }}}}{\sqrt {\frac {\mu _{\mathrm {r} }}{\varepsilon _{\mathrm {r} }}}}=Z_{0}{\sqrt {\frac {\mu _{\mathrm {r} }}{\varepsilon _{\mathrm {r} }}}}=Z_{0}{\frac {\mu _{\mathrm {r} }}{n}}\,,}$

(Ур. 3.19)

где ${\displaystyle Z_{0}}$ — волновое сопротивление вакуума, ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \varepsilon }$ — абсолютная магнитная и диэлектрическая проницаемости среды, ${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {r} }}$ — относительная диэлектрическая проницаемость материала, а ${\displaystyle \mu _{\mathrm {r} }}$ — его относительная магнитная проницаемость^[76].

Для немагнитных сред ${\displaystyle \mu _{\mathrm {r} }=1}$,

${\displaystyle Z={\frac {Z_{0}}{n}}\,,}$

(Ур. 3.20)

${\displaystyle n={\frac {Z_{0}}{Z}}\,.}$

(Ур. 3.21)

Таким образом, показатель преломления в немагнитной среде определяется как отношение волнового сопротивления вакуума к волновому сопротивлению среды. Отражательную способность ${\displaystyle R_{0}}$ границы раздела двух сред, таким образом, можно выразить как через волновые сопротивления, так и через показатели преломления как

${\displaystyle R_{0}=\left|{\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\right|^{2}\!=\left|{\frac {Z_{2}-Z_{1}}{Z_{2}+Z_{1}}}\right|^{2}\,.}$

(Ур. 3.22)

Это выражение совпадает с коэффициентом отражения света при нормальном падении (ур. 1.3)^[77].

Электромагнитные волны могут распространяться внутри волноводов. Их дисперсионные соотношения устанавливаются из решения уравнений Максвелла с соответствующими граничными условиями. Если рассматривать волноводы с металлическими стенками, то электрическое поле не проникает в них и волна, распространяющаяся в них, может быть описана как плоская волна вдоль оси волновода, а поперечные колебания электромагнитного поля задаются свойствами такого резонатора. Если предполагать, что поперечное сечение не меняется, то существует ограничение снизу на частоту этих колебаний. Если обозначить соответствующие частоты мод, связанных с поперечными колебаниями, которые представляют собой поперечные стоячие волны, как ${\displaystyle \omega _{\lambda }\,,}$ то фазовая скорость для волны, распространяющейся в волноводе, описывается формулой

${\displaystyle v={\frac {c}{n}}={\frac {c}{\sqrt {\mu \varepsilon }}}{\frac {1}{\sqrt {1-(\omega _{\lambda }/\omega )^{2}}}}\,.}$

(Ур. 3.23)

Она всегда больше, чем в неограниченном пространстве ${\displaystyle c/{\sqrt {\mu \varepsilon }}}$, и стремится к бесконечности при приближении показателя преломления к нулю^[78].

Иногда определяется «показатель преломления групповой скорости», обычно называемый групповым индексом (англ. group index):

${\displaystyle n_{\mathrm {g} }={\frac {\mathrm {c} }{v_{\mathrm {g} }}}\,,}$

(Ур. 3.24)

где v_g — групповая скорость^[79]. Это значение не следует путать с показателем преломления n, который всегда определяется относительно фазовой скорости — они совпадают только для сред без дисперсии. Когда дисперсия мала, групповая скорость может быть связана с фазовой скоростью соотношением

${\displaystyle v_{\mathrm {g} }=v-\lambda {\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} \lambda }}\,,}$

(Ур. 3.25)

где λ — длина волны в среде^[80]. Таким образом, в этом случае групповой показатель может быть записан в терминах зависимости показателя преломления от длины волны как

${\displaystyle n_{\mathrm {g} }={\frac {n}{1+{\frac {\lambda }{n}}{\frac {\mathrm {d} n}{\mathrm {d} \lambda }}}}\,.}$

(Ур. 3.26)

Когда показатель преломления среды известен как функция длины волны в вакууме, соответствующие выражения для групповой скорости и индекса имеют вид (для всех значений дисперсии)

${\displaystyle v_{\mathrm {g} }=\mathrm {c} \,\left(n-\lambda _{0}{\frac {\mathrm {d} n}{\mathrm {d} \lambda _{0}}}\right)^{-1},}$

(Ур. 3.27)

${\displaystyle n_{\mathrm {g} }=n-\lambda _{0}{\frac {\mathrm {d} n}{\mathrm {d} \lambda _{0}}}\,,}$

(Ур. 3.28)

где λ₀ — длина волны в вакууме^[81].

Показатель преломления воздуха был предметом многочисленных исследований. Он имеет первостепенное значение для любого исследования и измерения, происходящего в атмосфере. Его значение зависит от многих параметров и было предметом измерений и теорий, точность которых очень варьируется. Первое грубое измерение было выполнено с помощью рефрактометра в начале XVIII века Исааком Ньютоном, который в 1700 году^[82] замерил изменение видимых высот звёзд из-за преломления в атмосфере^[83], что привело Эдмунда Галлея к публикации этих результатов в 1721 году для иллюстрации преломления в воздухе^[84]. В 1806 году Франсуа Араго и Жан-Батист Био оценили значение индекса для воздуха^[83].

Первая формула, устанавливающая показатель преломления воздуха, была составлена Х. Барреллом и Дж. Э. Сирсом в 1938 году. Названная формулой Баррелла — Сирса, она имеет вид формулы Коши с двумя членами, зависящими от длины волны света (в вакууме) как ${\displaystyle \lambda ^{-2}}$ и ${\displaystyle \lambda ^{-4}}$ для материалов, абсорбционные полосы которых находятся в ультрафиолетовой области спектра:

${\displaystyle n(\lambda )=A+{\frac {B}{\lambda ^{2}}}+{\frac {C}{\lambda ^{4}}}+\cdots \,,}$

(Ур. 4.1)

где A, B, C — коэффициенты. Сейчас она устарела, но продолжает использоваться^[83][85]. Для материалов с полосой поглощения в инфракрасном диапазоне и некоторых других материалов с полосой поглощения в ультрафиолетовом диапазоне (например, воды) используется формула Скотта — Бриота^[86]

${\displaystyle n=-A'\lambda ^{2}+A+{\frac {B}{\lambda ^{2}}}+{\frac {C}{\lambda ^{4}}}}$

(Ур. 4.2)

и более точная формула Зельмейера

${\displaystyle n^{2}=1+{\frac {B_{1}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{1}}}+{\frac {B_{2}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{2}}}+{\frac {B_{3}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{3}}}\,.}$

(Ур. 4.3)

Эти эмпирические законы, определяемые очень точными измерениями длины волны, применяются к прозрачным средам в видимом диапазоне электромагнитного спектра. В моделях учитывают, что, находясь далеко от полос поглощения (обычно расположенных в ультрафиолетовой и инфракрасных областях спектра), можно рассматривать индекс как вещественное число и определить зависимость показателя преломления от длины волны. Эти формулы, как правило, точны до пятого знака после запятой^[86].

Две более свежие формулы, которые сейчас широко используются, дают лучшее приближение к показателю преломления воздуха: это формулы Филипа Э. Сиддора^[87] и Эдлена^[88]. Эти формулы учитывают большее или меньшее количество факторов, в частности наличие водяного пара и диоксида углерода, и действительны для того или иного диапазона длин волн.^[83]

Показатель преломления воздуха можно очень точно измерить с помощью интерферометрических методов, вплоть до порядка 10⁻⁷ или меньше^[89]. Он примерно равен 1,000 293 при температуре 0 °C и давлении 1 бар^[90]. Эта величина очень близка к единице, поэтому в технической оптике используют другое определение для показателя преломления через отношение скорости света в воздухе к скорости света в среде^[91].

Значение показателя преломления воздуха, одобренное Joint Commission for Spectroscopy в Риме в сентябре 1952 года, записывается следующим образом:

${\displaystyle n_{\text{air}}(15^{\circ }{\rm {C}},p_{0})=1+10^{-8}\left(6432.8+{\frac {2949810\;{\rm {\text{мкм}}}^{-2}\lambda ^{2}}{146\;{\rm {\text{мкм}}}^{-2}\lambda ^{2}-1}}+{\frac {25540\;{\rm {\text{мкм}}}^{-2}\lambda ^{2}}{41\;{\rm {\text{мкм}}}^{-2}\lambda ^{2}-1}}\right)\,.}$

(Ур. 4.4)

Эта формула справедлива для длин волн от 0,2 мкм до 1,35 мкм (видимого и инфракрасного диапазонов) и сухого воздуха, содержащего 0,03 % углекислого газа по объёму, при 15 °C и давлении 101,325 кПа^[89].

Свойства воздуха в зависимости от высоты сильно меняются, что сказывается на точности действия систем глобального позиционирования. В частности, для микроволн и радиоволн очень важен состав воздуха, поскольку наличие водяного пара в тропосфере замедляет сигналы радаров из-за изменения показателя преломления воздуха, что приводит к ошибкам в позиционировании. На большой высоте в ионосфере дисперсию волн обуславливают свободные электроны. На показатель преломления воздуха также влияют температура и давление. В простейшем виде время задержки для сигнала радара определяется из уравнения ${\displaystyle t=2rn/c\,,}$ где ${\displaystyle r}$ — расстояние до цели, ${\displaystyle n}$ — показатель преломления среды, ${\displaystyle c}$ — скорость света. В реальных измерениях используют разницу времени между отражениями от различных предметов и вычисляют разницу фаз ${\displaystyle \Delta \phi }$, которая связана с изменением индекса по формуле ${\displaystyle \Delta \phi =2\pi f\Delta t=4\pi fr\Delta n/c\,,}$ где ${\displaystyle f}$ — частота радара. На дистанциях между 20 и 40 км этот метод хорошо работает. Изменение показателя преломления в реальной атмосфере составляет около 0,03 %, но если расстояние известно, то можно с высокой точностью (~1 %) определять изменение показателя преломления при знании соответствующей модели атмосферы^[92].

В метеорологии и радарных исследованиях используют другое определение изменения индекса ${\displaystyle \Delta n}$, для данной частоты. Оно выражается через величину ${\displaystyle N=(n-1)\times 10^{6}}$, которая соответствует порядку изменения коэффициента преломления ${\displaystyle n}$ между вакуумом и воздухом у земной поверхности^[92].

${\displaystyle N}$ связано с параметрами окружающей среды по следующей экспериментально установленной формуле:

${\displaystyle N=77{,}5{\frac {P}{T}}-12{,}5{\frac {e}{T}}+3{,}7\times 10^{5}{\frac {e}{T^{2}}}\,,}$

(Ур. 4.5)

где ${\displaystyle P}$ — давление в гПа, ${\displaystyle T}$ — температура в кельвинах, ${\displaystyle e}$ — парциальное давление водяного пара, содержащегося в воздухе, в гПа^[92][93][94]. Первый член применяется во всей толще атмосферы, связан с дипольным моментом из-за поляризации нейтральных молекул и описывает сухую атмосферу. Второй и третий члены важны в тропосфере, относятся к постоянному дипольному моменту воды и важны только в нижней тропосфере^[95]. Первое слагаемое преобладает при низких температурах, где давление паров водяного пара низкое. Следовательно, можно измерить изменение ${\displaystyle N}$, если известны ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle e}$ и ${\displaystyle T}$, и наоборот. Эта формула широко используется при расчёте влияния водяного пара на распространение волн в атмосфере. Диапазон частот, где применима эта формула, ограничивается микроволновой областью (1 ГГц — 300 ГГц), поскольку для более высоких частот существует вклад вращательных резонансов молекул кислорода и воды^[94].

В ионосфере, однако, вклад электронной плазмы в коэффициент преломления существенен, а водяного пара — отсутствует, поэтому используют другую форму уравнения для показателя преломления:

${\displaystyle N=77{,}6{\frac {P}{T}}+3{,}73\times 10^{5}{\frac {e}{T^{2}}}-40{,}3\times 10^{6}{\frac {n_{e}}{f^{2}}}\,,}$

(Ур. 4.6)

где ${\displaystyle n_{e}}$ — концентрация электронов, ${\displaystyle f}$ — частота радара. Вклад плазменной частоты (последнее слагаемое) важен на высотах более 50 км^[95].

Вклад холодной плазмы в ионосфере может изменить знак показателя преломления на больших высотах в микроволновом диапазоне. В общем случае ионосфера демонстрирует двулучепреломление^[96].

Радарные технологии используются в метеорологии для определения количества капель и их распределения над территорией США и Западной Европы, поскольку эти территории практически полностью покрыты сетью радаров. Мощность отражённого сигнала пропорциональна радиолокационной отражаемости водяных капель и величине, зависящей от комплексного показателя преломления, ${\displaystyle |(n^{2}(\lambda )-1)/(n^{2}(\lambda )+1)|^{2}}$^[97].

Чистая вода прозрачна для света видимого, ультрафиолетового и инфракрасного диапазона спектра. В области длин волн от 0,2 мкм до 1,2 мкм и температур от −12 °C до 500 °C действительную часть показателя преломления воды можно получить из следующего эмпирического выражения:

${\displaystyle {\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}(1/{\overline {\rho }})=a_{0}+a_{1}{\overline {\rho }}+a_{2}{\overline {T}}+a_{3}{\overline {\lambda }}^{2}{\overline {T}}+{\frac {a_{4}}{{\overline {\lambda }}^{2}}}+{\frac {a_{5}}{{\overline {\lambda }}^{2}-{\overline {\lambda }}_{\mathit {UV}}^{2}}}+{\frac {a_{6}}{{\overline {\lambda }}^{2}-{\overline {\lambda }}_{\mathit {IR}}^{2}}}+a_{7}{\overline {\rho }}^{2}\,,}$

(Ур. 5.1)

где безразмерные переменные параметры для температуры, плотности и длины волны заданы выражениями ${\displaystyle {\overline {T}}=T/273.15}$ (в кельвинах), ${\displaystyle {\overline {\rho }}=\rho /1000}$ (в кг/м³), ${\displaystyle {\overline {\lambda }}=\lambda /0,589}$ (длина волны задана в микрометрах), постоянные ${\displaystyle a_{0}}$ = 0.244257733, ${\displaystyle a_{1}}$ = 0.00974634476, ${\displaystyle a_{2}}$ = −0.00373234996, ${\displaystyle a_{3}}$ = 0.000268678472, ${\displaystyle a_{4}}$ = 0.0015892057, ${\displaystyle a_{5}}$ = 0.00245934259, ${\displaystyle a_{6}}$ = 0.90070492, ${\displaystyle a_{7}}$ = −0.0166626219, ${\displaystyle {\overline {\lambda }}_{\text{IR}}}$ = 5.432937 и ${\displaystyle {\overline {\lambda }}_{\text{UV}}}$ = 0.229202. Погрешность этой формулы составляет 6⋅10⁻⁵ при нормальном давлении в диапазоне температур от −12 °C (переохлаждённая жидкость) до 60 °C^[99]. Дополнительная неопределённость появляется при попытке вычислить показатель преломления при высоких давлениях или при переходе воды в паровую фазу^[99]. Дополнительно улучшить точность в области температур ${\displaystyle t}$ от 0 °C до 40 °C можно используя выражение для плотности воды

${\displaystyle \rho (t)=a_{5}\left(1-{\frac {(t+a_{1})^{2}(t+a_{2})}{a_{3}(t+a_{4})}}\right)\,,}$

(Ур. 5.2)

где ${\displaystyle a_{1}}$ = −3,983 035 °C,

${\displaystyle a_{2}}$ = 301,797 °C,

${\displaystyle a_{3}}$ = 522 528,9 °C²,

${\displaystyle a_{4}}$ = 69,34881 °C,

${\displaystyle a_{5}}$ = 999,974 950 кг/м^3[100].

В то же время коэффициент поглощения в воде для видимого спектра (в диапазоне от 300 нм до 700 нм) очень мал: в максимуме около 6⋅10⁻⁸, а в минимуме (418 нм) ещё на два порядка меньше^[101].

На основе закона Снеллиуса строятся количественные методы рефрактометрии растворов. Среди растворителей наиболее часто используются вода с показателем преломления 1,3330, метанол — 1,3286, этанол — 1,3613, ацетон — 1,3591, хлороформ — 1,4456. Эти величины измерены на длине волны D-линии натрия (589,3 нм) при 20 °С и обозначаются ${\displaystyle n_{D}^{20}}$^[102]. Сравнивая индекс раствора ${\displaystyle n}$ с индексом растворителя ${\displaystyle n_{0}}$, можно получить концентрацию раствора в процентах

${\displaystyle C={\frac {n-n_{0}}{F}}\,,}$

(Ур. 5.3)

где ${\displaystyle F}$ — параметр, показывающий прирост показателя преломления на один процент для растворённого вещества. Формулы расчёта несколько сложнее в случае нескольких растворённых веществ^[103].

Океанская вода представляет собой сложную смесь мутного раствора, солей и органических останков^[104]. В диэлектрическую проницаемость дают вклад три источника, связанные с электронной, дипольно-релаксационной и ионной восприимчивостями. Магнитная проницаемость воды меньше единицы (диамагнетик)^[105]. Солёность мирового океана зависит в основном от количества хлористого натрия^[106]. Показатель преломления морской воды в видимой части спектра зависит в основном от трёх параметров: температуры, солёности и гидростатического давления. В простейшей модели для показателя преломления используют формулу Лоренца — Лоренца. Удельная рефракция уменьшается с ростом длины волны, солёности и температуры. При длине волны 480 нм, температуре 20 °C, атмосферном давлении и солёности 35 ‰ ${\displaystyle n=1{,}34509}$ (для чистой воды ${\displaystyle n=1{,}337}$)^[107]. Коэффициент преломления морской воды измеряют методами рефрактометрии^[108].

Широкое применение стёкол в оптике предполагает детальное знание показателя преломления конкретного типа материала. Наиболее свежие данные по свойствам различных стёкол можно найти в каталогах фирм-изготовителей, поскольку они составлены с использованием международных стандартов типа ISO 7944—84 (в России ГОСТ 23136—93 и ГОСТ 3514—94^[109], в Германии DIN 58925 и DIN 58927)^[110]. Главные характеристики стёкол показаны в коде стекла. Например, для N-SF6 код стекла несёт информацию о показателе преломлении n_d, числе Аббе V_d и плотности ρ. Из кода 805254.337 следует, что n_d = 1,805, V_d = 25,4 и ρ = 3,37 г/см^3[7]. Индекс d обозначает длину волны жёлтой линии гелия при длине волны 587,5618 нм. Типы оптических стёкол можно разделить на группы, представленные на графике в координатах (n_d, V_d). Часто используются и другие линии в зависимости от возможных применений. Например, индекс t используется для инфракрасной линии ртути (1013,98 нм), e — зелёной линии ртути (546,0740 нм), C — красной линии водорода (656,2725 нм), D — жёлтой линии натрия (589,2938 нм), i — ультрафиолетовой линии ртути (365,0146 нм), и так далее^[7]. Типичными требованиями для оптических стёкол являются требования точности для показателя преломления ±2⋅10⁻⁵ и дисперсии ±1⋅10⁻⁵. В сертификатах указывают также температуру (22 °C) и давление (101,325 кПа). Высокие требования накладываются на однородность показателя преломления и коэффициент внутреннего пропускания. Стекло в высшей степени однородно, но допускает наличие дефектов макроструктуры, называемые свилями, пузырей и микровключений, если они не искажают фронт волны при учёте соотношения суммарной поперечной площади дефектов к объёму стекла. Для стандарта ISO3/IN010 площадь дефектов не превышает 0,03 мм² в объёме 100 см³ и не более 10 включений^[7]. Двойное лучепреломление — это нежелательное явление, которое также характеризуется по стандарту ISO 11455 методом Сенармона — Фриделя, который ограничивает разность хода 6 нм/см (на сантиметр толщины) для оптических стёкол. Для избавления от внутренних напряжений применяют отжиг стекла. Оптические стёкла также характеризуют климатической стойкостью, стойкостью к травлению, кислотостойкостью, щёлочестойкостью и стойкостью к фосфатам, поскольку все эти нежелательные внешние факторы приводят к дефектам и изменениям поверхности^[7][111].

Для обозначения оптического стекла используют сокращения. Например для крона и флинта используют заглавные буквы: ЛК — лёгкий крон; ФК — фосфатный крон; ТФК — тяжёлый фосфатный крон; К — крон; БК — баритовый крон; ТК — тяжёлый крон; СТК — сверхтяжёлый крон; ОК — особый крон; КФ — крон-флинт; БФ — баритовый флинт; ТБФ — тяжёлый баритовый флинт; ЛФ — лёгкий флинт; Ф — флинт; ТФ — тяжёлый флинт; ОФ — особый флинт^[112].

До сих пор предполагалось, что преломление задаётся линейными уравнениями, включающими пространственно постоянный скалярный показатель преломления. Эти предположения могут нарушаться по-разному, что включает следующие возможности.

Распространение света в кристалле зависит от направления оптических осей. Для кристаллов диэлектрическая проницаемость имеет вид тензора второго ранга, и при действии электрического поля световой волны смещение электрических зарядов в общем случае не совпадает с направлением электрического поля. Вектора электрической индукции D и электрического поля E не совпадают ни по направлению, ни по величине^[113]. Есть, однако, возможность выбора прямоугольной системы координат, в которой оси координат направлены вдоль оптических осей. В этой системе координат записывается уравнение для характеристической поверхности, называемой эллипсоидом Френеля^[114]

${\displaystyle n_{x}^{2}x^{2}+n_{y}^{2}y^{2}+n_{z}^{2}z^{2}=const\,.}$

(Ур. 7.1)

Здесь индексы у коэффициента преломления отвечают за величину коэффициента преломления в определённом направлении в кристалле, то есть указывают на анизотропию скорости света. Если электрическое поле E направлено по одной из оптических осей, то индукция D имеет то же направление. Скорости распространения света в этих направлениях равны

${\displaystyle v_{x}={\frac {c}{n_{x}}}\,,\qquad v_{y}={\frac {c}{n_{y}}}\,,\qquad v_{z}={\frac {c}{n_{z}}}\,.}$

(Ур. 7.2)

Эллипсоид Френеля имеет смысл поверхности постоянной фазы для излучения точечного источника^[115]. Существуют как минимум два круговых сечения для эллипсоида Френеля, перпендикулярные направления к которым называются оптическими осями кристалла. Для одноосного кристалла ${\displaystyle n_{x}=n_{y}\neq n_{z}}$^[114].

В материалах, где показатель преломления зависит от поляризации и направления в кристалле, наблюдается явление двойного лучепреломления, которое также называют оптической анизотропией в общем случае^[116].

В простейшем случае, одноосном двулучепреломлении, материал имеет только одно особое направление — оптическую ось материала^[117]. Распространение света с линейной поляризацией, перпендикулярной этой оси, описывается с помощью показателя преломления для обыкновенной волны ${\displaystyle n_{o}}$, в то время как распространение света с параллельной поляризацией описывается с помощью показателя преломления для необыкновенной волны ${\displaystyle n_{e}}$^[118]. Двулучепреломление материала возникает из-за разности между этими показателями преломления ${\displaystyle \Delta n=n_{e}-n_{o}}$^[119]. Свет, распространяющийся в направлении оптической оси, не будет испытывать двойного лучепреломления, поскольку показатель преломления ${\displaystyle n_{o}}$ не будет зависеть от поляризации. Для других направлений распространения свет разделяется на два линейно поляризованных луча. Для света, движущегося перпендикулярно оптической оси, лучи будут распространяться в одном и том же направлении^[120]. Это можно использовать для изменения направления поляризации линейно поляризованного света или для преобразования линейной, круговой и эллиптической поляризации при работе с волновыми пластинами^[119].

Многие кристаллы обладают естественным двойным лучепреломлением, но изотропные материалы, такие как пластмассы и стекло, также могут часто обладать двойным лучепреломлением вследствие возникновения предпочтительного направления, например, при действии внешней силы или электрического поля. Этот эффект называется фотоупругостью и может использоваться для выявления напряжений в конструкциях. Для этого двулучепреломляющий материал помещается между скрещёнными поляризаторами. Напряжения в кристалле приводят к возникновению эффекта двойного лучепреломления и свет, проходящий через кристалл, изменяет поляризацию и, следовательно, долю света, которая проходит через второй поляризатор^[121]. Разность между показателями преломления для обыкновенной и необыкновенной волн пропорциональна давлению P

${\displaystyle n_{o}-n_{e}=\kappa P\,,}$

(Ур. 7.3)

где ${\displaystyle \kappa }$ — постоянная, характеризующая вещество^[122].

Некоторые данные для широко используемых одноосных кристаллов приведены в таблице^[123].

Показатели преломления некоторых одноосных кристаллов для длины волны 589,3 нм^[123]

Кристалл	Химическая формула	Сингония	Знак ${\displaystyle n_{e}-n_{o}}$	${\displaystyle n_{o}}$	${\displaystyle n_{e}}$
Лёд	H2O	Тригональная	+	1,309	1,313
Кварц	SiO2	Тригональная	+	1,544	1,553
Берилл	Be3Al2(SiO3)6	Гексагональная	-	1,581	1,575
Нитрат натрия	NaNO3	Тригональная	-	1,584	1,336
Кальцит	CaCO3	Тригональная	-	1,658	1,486
Турмалин	Сложный силикат	Тригональная	-	1,669	1,638
Сапфир	Al2O3	Тригональная	-	1,768	1,760
Циркон	ZrSiO4	Тетрагональная	+	1,923	1,968
Рутил	TiO2	Тетрагональная	+	2,616	2,903

Более общий случай трипреломляющих материалов описывается кристаллооптикой, а диэлектрическая проницаемость является тензором второго ранга (матрица 3 на 3). В этом случае распространение света невозможно просто описать показателями преломления, за исключением поляризаций вдоль главных осей. Кристаллы с орторомбической, моноклинной и триклинной сингонией принадлежат к этому классу материалов. Слюды являются типичными представителями трипреломляющих кристаллов^[124].

Двулучепреломление возникает при приложении постоянного или переменного электрического поля к изотропной среде. Впервые этот эффект наблюдался Керром (в 1875 году) для диэлектрических жидкостей, но встречается в твёрдых телах и в гораздо более простых системах: он наблюдался в газах в 1930 году^[125], что позволило объяснить происхождение эффекта^[126]. При приложении сильного электрического поля к жидкости она становится аналогом одноосного кристалла с оптической осью, совпадающей с направлением электрического поля^[125]. Разность между показателями преломления для необыкновенной и обыкновенной волн не зависит от ориентации электрического поля ${\displaystyle E}$, поскольку она пропорциональна его квадрату:

${\displaystyle n_{e}-n_{o}=\kappa E^{2}\,,}$

(Ур. 7.4)

где ${\displaystyle \kappa }$ — постоянная для среды. Эта величина обычно положительна для многих жидкостей, но может принимать отрицательные значения для этилового эфира, многих масел и спиртов. Если выразить сдвиг фаз через длину волны, то ${\displaystyle \phi =2\pi BlE^{2}\,,}$ где ${\displaystyle l}$ — толщина образца, ${\displaystyle B=\kappa /\lambda }$ — постоянная Керра^[127]. Постоянная Керра принимает очень малые значения: на длине волны 546,0 нм для газов порядка 10⁻¹⁵ В/м² и для жидкостей порядка 10⁻¹² В/м^2[128].

По аналогии с эффектом Керра можно наблюдать двулучепреломление в изотропных средах в сильном магнитном поле^[129]. При распространении света перпендикулярно этому полю разность показателей преломления оказывается пропорциональной квадрату напряжённости магнитного поля H:

${\displaystyle n_{e}-n_{o}=BH^{2}\,,}$

(Ур. 7.5)

где ${\displaystyle B}$ — постоянная для среды. Если выразить разность хода лучей через длину волны, то ${\displaystyle \Delta _{\lambda }=l(n_{e}-n_{o})/\lambda =ClH^{2}\,,}$ где ${\displaystyle l}$ — толщина образца, ${\displaystyle C=B/\lambda }$ — постоянная Коттона — Мутона^[129].

Если показатель преломления среды не постоянен, а постепенно изменяется в пространстве, такой материал известен как среда с градиентным показателем, или GRIN-среда, и рассматривается в градиентной оптике^[130]. Свет, проходящий через такую среду, преломляется или фокусируется, что можно использовать для создания