У этого термина существуют и другие значения, см. Производная.
Данная статья описывает производные вещественных функций. О производной комплексных функций см. Комплексный анализ.
Иллюстрация понятия производной
Произво́дная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю (при условии, что такой предел существует). Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).
Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.
В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятие предела, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления. Исторически производная вводилась кинематически (как скорость) или геометрически (определяясь по сути наклоном касательной, в разных конкретных формулировках). Ньютон называл производную флюксией, обозначая точкой над символом функции, школа Лейбница предпочитала в качестве базового понятия дифференциал[1].
Русский термин в форме «производная функция» впервые употребил В. И. Висковатов, переведя на русский язык соответствующий французский термин dérivée, используемый французским математиком Лагранжем[2].
Производная функции в точке , будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция является дифференцируемой в точке тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:
Для дифференцируемой в функции в окрестности справедливо представление
Назовём приращением аргумента функции, а или приращением значения функции в точке Тогда
Пусть функция имеет конечную производную в каждой точке Тогда определена произво́дная фу́нкция
Функция, имеющая производную в точке, непрерывна в ней. Обратное не всегда верно.
Если производная функция сама является непрерывной, то функцию называют непреры́вно дифференци́руемой и пишут:
Определять производную функции как скорость изменения функции в данной точке не всегда корректно, так как скорость - это изменение какой-то величины в зависимости от времени. Есть задачи, в которых некоторая величина изменяется не в течение времени, а в зависимости от другой величины. В криволинейной трапеции высота изменяется в зависимости от длины основания. Количество прореагировавшего вещества в химическом процессе зависит от концентрации реагентов и т.п. В этих случаях имеет смысл говорить о производной не как о скорости, а как о приросте (убыли) величины в зависимости от другой величины.
Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсциссаx0 и вычисляется соответствующая ординатаf(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C5). Расстояние Δx = x — x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C5 — C1). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x0.
Если функция имеет конечную производную в точке то в окрестности её можно приблизить линейной функцией
Функция называется касательной к в точке Число является угловым коэффициентом (угловым коэффициентом касательной) или тангенсомугла наклона касательной прямой.
Тангенс можно рассматривать как масштабирующий коэффициент или коэффициент сравнения: насколько изменение единицы измерения ординаты больше изменения единицы измерения абсциссы. Если тангенс равен 1, то изменения единиц измерения равны.
Изначально тангенс является безразмерной величиной (длина противолежащего катета ∕ длина прилежащего катета, м ∕ м), но применительно к вычислению производной может иметь размерность, например, скорость тела есть путь ∕ время, т. е. м ∕ с.
Пусть — закон прямолинейного движения. Тогда выражает мгновенную скорость движения в момент времени . Новая функция также имеет производную. Эта т. н. вторая производная, обозначается как , а функция выражает мгновенное ускорение в момент времени
Вообще производная функции в точке выражает скорость изменения функции в точке , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью
При протекании процессов (физических, механических, химических, экономических и т. п.) процесс зависит не только от параметров, но и от скорости изменения этих параметров (вплоть до качественного изменения). Например, при медленном вращении ротора генератора напряжение на выходе будет небольшое и не позволит использовать его во многих приложениях. При быстром вращении того же ротора напряжение увеличивается; помимо расширения сферы использования оно, например, начинает представлять опасность для персонала. При еще большей скорости вращения ротора напряжение увеличивается настолько, что может повредить изоляцию проводов, вызвать коронный разряд, вывести из строя подключенное оборудование и т. п. В этом состоит важность информации о скорости изменения параметров.
При описании процессов и в теории управления производную рассматривают как реакцию процесса (функции) на управляющий этим процессом параметр (независимое переменное); насколько интенсивно реагирует процесс на управляющий сигнал (насколько он чувствителен к нему); какое изменение процесса вызывает небольшое изменение управляющего воздействия.
В геометрических задачах производная рассматривается как изменение высоты криволинейной трапеции на малом участке ее основания (криволинейную трапецию можно рассматривать как прямоугольник с переменной высотой); изменение радиуса фигуры вращения на малом участке ее оси вращения (фигура вращения рассматривается как цилиндр с переменным радиусом) и т. п.
Производную можно использовать как предиктор (устройство или метод, предсказывающий будущее процесса). Например, если спрос на продукцию растет, то прирост спроса положительный, в будущем потребность в продукции будет только расти и имеет смысл расширять производство. Если спрос на продукцию падает, то прирост спроса отрицательный и в будущем продукция станет не востребована. Имеет смысл закрывать или перепрофилировать производство.
В ПИД-регуляторах в качестве предиктора используется дифференциальная составляющая: если скорость приближения ошибки к опорному сигналу невелика, имеет смысл увеличить управляющее воздействие, чтобы ускорить процесс управления. Если скорость приближения ошибки велика, система управления уменьшает управляющее воздействие, чтобы не проскочить опорный сигнал по инерции.
Анимация, дающая первоначальное интуитивное представление о производной, как о «размахе» изменения функции при изменении аргумента (нажмите для воспроизведения).
Если функция имеет в некоторой области D частную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от может иметь в некоторой точке частные производные по той же или по любой другой переменной. Для исходной функции эти производные будут частными производными второго порядка (или вторыми частными производными).
или
или
Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Например,
Класс функций, у которых производная -порядка является непрерывной, обозначается как .
В зависимости от целей, области применения и используемого математического аппарата используют различные способы записи производных. Так, производная n-го порядка может быть записана в нотациях:
Такая запись удобна своей краткостью и широко распространена; однако штрихами разрешается обозначать не выше третьей производной.
Лейбница, удобная наглядной записью отношения бесконечно малых (только в случае, если — независимая переменная; в противном случае обозначение верно лишь для производной первого порядка):
Ньютона, которая часто используется в механике для производной по времени функции координаты (для пространственной производной чаще используют запись Лагранжа). Порядок производной обозначается числом точек над функцией, например:
— производная первого порядка по при , или — вторая производная по в точке и т. д.
Эйлера, использующая дифференциальный оператор (строго говоря, дифференциальное выражение, пока не введено соответствующее функциональное пространство), и потому удобная в вопросах, связанных с функциональным анализом:
, или иногда .
В вариационном исчислении и математической физике часто применяется обозначение , ; для значения производной в точке — . Для частных производных обозначение то же, поэтому смысл обозначения определяют из контекста.
Конечно, при этом необходимо не забывать, что служат все они для обозначения одних и тех же объектов:
Для непрерывных функций на отрезке , дифференцируемых на интервале справедливы:
Лемма Ферма. Если принимает максимальное или минимальное значение в точке и существует , то .
Теорема о нуле производной. Если принимает на концах отрезка одинаковые значения, то на интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.
Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если — постоянное число и — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:
Найти производную арксинуса можно при помощи взаимно обратных функций. После чего мы должны взять производную этих обеих функций. Теперь мы должны выразить производную арксинуса. Исходя из тригонометрического тождества() — получаем. Для того чтобы определить знак корня в знаменателе нужно взглянуть на область значений арксинуса. Так как косинус находится в 1-й и 4-й четвертях, то косинус положительный. Отсюда
Доказательство
Найти производную арккосинуса можно при помощи данного тождества: Теперь находим производную обеих частей этого тождества. Теперь выражаем производную арккосинуса. Получается.
Доказательство
Найти производную арктангенса можно при помощи взаимнообратной функии: Теперь находим производную обеих частей этого тождества. Теперь мы должны выразить производную арктангенса: Теперь на помощь нам придет на помощь тождество(): Получается.
Доказательство
Найти производную арккотангенса можно при помощи данного тождества: Теперь находим производную обеих частей этого тождества. Теперь выражаем производную арккотангенса. Получается.
Доказательство
Найти производную арксеканса можно при помощи тождества:
Теперь находим производную обеих частей этого тождества.
Получается.
Доказательство
Найти производную арккосеканса можно при помощи данного тождества: Теперь находим производную обеих частей этого тождества. Теперь выражаем производную арккосинуса. Получается.