Семиугольная мозаика — Википедия

Семиугольная мозаика

Тип	Гиперболическая правильная мозаика^[англ.]
Вершинная фигура	7³
Символ Шлефли	{7,3}
Символ Витхоффа^[англ.]	7 2
Диаграмма Коксетера
Группа симметрии	[7,3], (*732)
Двойственный многогранник	Треугольная мозаика порядка 7^[англ.]
Свойства	Вершинно транзитивна, рёберно транзитивна^[англ.], транзитивна по граням^[англ.]

Семиугольная мозаика — правильная мозаика на гиперболической плоскости. Она представляется cимволом Шлефли {7,3} и имеет три правильных семиугольника в каждой вершине.

Иллюстрации

Модель полуплоскости Пуанкаре	Дисковая модель Пуанкаре	Модель Клейна

Эта мозаика имеет топологическую связь с правильными многогранниками как член последовательности правильных многогранников с cимволом Шлефли {n,3}.

*n32 варианты симметрии правильных мозаик: n³ или {n,3}
Сферические				Евклидовы	Компактные гиперболические.		Параком- пактные.	Некомпактные гиперболические.

{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}	{12i,3}	{9i,3}	{6i,3}	{3i,3}

Из построения Витхоффа следует, что существует восемь гиперболических однородных мозаик^[англ.], базирующихся на правильной семиугольной мозаике.

Если раскрасить в мозаике красным исходные грани, жёлтым исходные вершины, а синим исходные рёбра, имеется 8 форм.

Однородные семиугольные/треугольные мозаики^[англ.]
Симметрия: [7,3], (*732)^[англ.]							[7,3]⁺, (732)


{7,3}	t{7,3}^[англ.]	r{7,3}^[англ.]	2t{7,3}^[англ.]=t{3,7}	2r{7,3}^[англ.]={3,7}	rr{7,3}^[англ.]	tr{7,3}^[англ.]	sr{7,3}^[англ.]
Однородные двойственные мозаики


V7³^[англ.]	V3.14.14	V3.7.3.7	V6.6.7	V3⁷	V3.4.7.4	V4.6.14^[англ.]	V3.3.3.3.7

Группа симметрии мозаики является группой треугольника (2,3,7), и фундаментальной областью для этого действия является треугольник Шварца (2,3,7). Это наименьший гиперболический треугольник Шварца, а потому, по теореме Гурвица об автоморфизмах, мозаика является универсальной мозаикой, покрывающей все поверхности Гурвица (римановы поверхности с максимальной группой симметрии), давая мозаику семиугольниками, группа симметрии которой равна группе симметрии римановой поверхности. Наименьшей поверхностью Гурвица является квартика Клейна^[англ.] (род 3, группа автоморфизма имеет порядок 168) и порождённая мозаика имеет 24 семиугольника, имеющие общие 56 вершин.

Двойственная треугольная мозаика порядка 7^[англ.] имеет ту же самую группу симметрии и она задаёт триангуляции^[англ.] поверхности Гурвица.

John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations // The Symmetries of Things. — 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5.
H.S.M. Coxeter. Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space // The Beauty of Geometry: Twelve Essays. — Dover Publications, 1999. — ISBN 978-0486-40919-8.