Теорема Тёплица — Википедия

В математическом анализе теорема Тёплица (Сильвермана-Тёплица) является результатом, позволяющим устанавливать на основании сходиости произвольной последовательности ${\displaystyle z_{n}}$ сходимость последовательностей взвешенных сумм этой последовательности^[1]. Применяется, например, для определения регулярности методов суммирования расходящихся рядов^[2].

Дан бесконечный треугольник комплексных чисел (весов) ${\displaystyle a_{i,j}}$, ${\displaystyle j\leqslant i}$

${\displaystyle a_{1,1}}$
${\displaystyle a_{2,1}}$	${\displaystyle a_{2,2}}$
${\displaystyle a_{3,1}}$	${\displaystyle a_{3,2}}$	${\displaystyle a_{3,3}}$
${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle \ldots }$
${\displaystyle a_{n,1}}$	${\displaystyle a_{n,2}}$	${\displaystyle a_{n,3}}$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle a_{n,n}}$
${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle \ldots }$

элементы которого удовлетворяют слеюущим условиям:

1. Элементы по столбцам сходятся к нулю. Для всякого фиксированного ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$ выполяется ${\displaystyle \lim _{i\to \infty }{a_{i,j}}=0}$.
2. Множество сумм модулей элементов по строкам ограничено.

${\displaystyle M=\sup _{i\in \mathbb {N} }\left\{\sum _{j=1}^{i}{\left|a_{i,j}\right|}\right\}<\infty }$.

Пусть последовательность комплексных чисел ${\displaystyle z_{n}}$ сходится к ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }z_{n}=z_{\infty }}$. Обозначим за ${\displaystyle S_{n}}$ последовательность сумм элементов ${\displaystyle z_{n}}$, взвешенных числами данного треугольника: ${\displaystyle S_{n}=\sum _{m=1}^{n}{\left(a_{n,m}z_{n}\right)}}$. В таком случае имеем:

1. Если ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }z_{n}=z_{\infty }=0}$, тогда ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{S_{n}}=0}$.
2. Если ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }z_{n}=z_{\infty }\neq 0}$ и ${\displaystyle \lim _{i\to \infty }\sum _{j=1}^{i}a_{i,j}=1}$, то ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{S_{n}}=z_{\infty }}$.

Для фиксированного ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$ все три комплекснозначные последовательности ${\displaystyle z_{n}}$, ${\displaystyle S_{n}}$ и ${\displaystyle a_{i,j}}$ сходятся к нулю тогда и только тогда, когда к нулю сходятся вещественнозначные последовательности ${\displaystyle \left|z_{n}\right|}$, ${\displaystyle \left|S_{n}\right|}$ и ${\displaystyle \left|a_{i,j}\right|}$ соответственно.

Поскольку ${\displaystyle \left|z_{n}\right|\to 0}$, для наперёд выбранного ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует ${\displaystyle N_{\varepsilon }=N_{\varepsilon }\left(\varepsilon \right)}$, такое, что для всех ${\displaystyle n>N_{\varepsilon }\left(\varepsilon \right)}$ выполняется ${\displaystyle \left|z_{n}\right|<{\frac {\varepsilon }{2M}}}$. Далее, поскольку по столбцам элементы сходятся к нулю, для некоторого ${\displaystyle N_{a}=N_{a}\left(\varepsilon \right)>N_{\varepsilon }\left(\varepsilon \right)}$ выполняется ${\displaystyle \left|a_{n,m}\right|<{\frac {M}{N_{\varepsilon }}}}$ для всех ${\displaystyle n>N_{a}\left(\varepsilon \right)}$ и ${\displaystyle 1\leqslant m\leqslant n}$. Следовательно, для всех ${\displaystyle n>N_{a}\left(\varepsilon \right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left|S_{n}\right|=\left|\sum _{m=1}^{n}\left(a_{n,m}z_{n}\right)\right|\leqslant \sum _{m=1}^{n}\left(\left|a_{n,m}\right|\cdot \left|z_{n}\right|\right)=\sum _{m=1}^{N_{\varepsilon }}\left(\left|a_{n,m}\right|\cdot \left|z_{n}\right|\right)+\sum _{m=N_{\varepsilon }}^{n}\left(\left|a_{n,m}\right|\cdot \left|z_{n}\right|\right)<\\&<N_{\varepsilon }\cdot {\frac {M}{N_{\varepsilon }}}\cdot {\frac {\varepsilon }{2M}}+{\frac {\varepsilon }{2M}}\sum _{m=N_{\varepsilon }}^{n}\left|a_{n,m}\right|\leqslant {\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2M}}\sum _{m=1}^{n}\left|a_{n,m}\right|\leqslant {\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2M}}\cdot M=\varepsilon \end{aligned}}}$

что означает, что ${\displaystyle \left|S_{n}\right|}$ сходится к нулю вместе с ${\displaystyle S_{n}}$.

Имеем ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(z_{n}-z_{\infty }\right)=0}$. Применяя доказанное выше, получаем результат ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{m=1}^{n}{\big (}a_{n,m}\left(z_{n}-z_{\infty }\right){\big )}=0}$. Наконец,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{m=1}^{n}{\big (}a_{n,m}z_{n}{\big )}=\lim _{n\to \infty }\sum _{m=1}^{n}{\big (}a_{n,m}\left(z_{n}-z_{\infty }\right){\big )}+z_{\infty }\lim _{n\to \infty }\sum _{m=1}^{n}{\big (}a_{n,m}{\big )}=0+z_{\infty }\cdot 1=z_{\infty }}$, что и требовалось.

Выбрав ${\displaystyle a_{i,j}={\frac {1}{i}}}$, получаем тот факт, что из ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }z_{n}=z_{\infty }}$ следует, что последовательность средних арифметических этой последовательности ${\displaystyle S_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{m=1}^{n}{z_{n}}}$ сходится и имеет тот же предел. Это подтверждает регулярность метода Чезаро суммирования последовательностей.

Для наперёд заданной последовательности ${\displaystyle z_{n}}$, сходящейся к ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }z_{n}=z_{\infty }\neq 0}$ и не содержащей нулей, определив последовательность средних геометрических ${\displaystyle S_{n}={\frac {n}{{\frac {1}{\left|z_{1}\right|}}+{\frac {1}{\left|z_{2}\right|}}+\ldots +{\frac {1}{\left|z_{i}\right|}}}}}$ и выбрав в теореме Тёплица веса, равными ${\displaystyle a_{i,j}={\frac {1}{\left|z_{j}\right|}}\cdot {\frac {1}{{\frac {1}{\left|z_{1}\right|}}+{\frac {1}{\left|z_{2}\right|}}+\ldots +{\frac {1}{\left|z_{i}\right|}}}}>0}$, получаем

${\displaystyle \sum _{j=1}^{i}a_{i,j}={\frac {1}{{\frac {1}{\left|z_{1}\right|}}+{\frac {1}{\left|z_{2}\right|}}+\ldots +{\frac {1}{\left|z_{i}\right|}}}}\cdot \sum _{j=1}^{i}{\frac {1}{\left|z_{j}\right|}}=1}$ для натуральных ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$,

а также

${\displaystyle \lim _{j\to \infty }{\frac {1}{\left|z_{j}\right|}}={\frac {1}{\left|z_{\infty }\right|}}\neq 0}$, а потому знакопостоянный ряд ${\displaystyle {\frac {1}{\left|z_{1}\right|}}+{\frac {1}{\left|z_{2}\right|}}+\ldots +{\frac {1}{\left|z_{i}\right|}}+\ldots }$ расходится и ${\displaystyle \lim _{i\to \infty }{a_{i,j}}=0}$.

Следовательно, условия теоремы Тёплица выполняются, и

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{S_{n}}=\lim _{n\to \infty }\sum _{m=1}^{n}{\left(a_{n,m}\left|z_{n}\right|\right)}=z_{\infty }}$.

Теорема Штольца может быть доказана, в том числе, путём применения теоремы Тёплица к вещественнозначной последовательности ${\displaystyle z_{n}={\frac {x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}}$, где также ${\displaystyle x_{n}\in \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle y_{n}\in \mathbb {R} }$ и выбрав веса, равными ${\displaystyle a_{i,j}={\frac {y_{j}-y_{j-1}}{y_{i}}}}$. В таком случае получаем ${\displaystyle S_{n}={\frac {x_{n}-x_{1}}{y_{n}}}}$.

1. ↑ Ляшко И. И., Боярчук А. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл. (рус.). — 1-е изд. — Москва: Едиториал УРСС, 2001. — Т. 1. — С. 58. — (Справочное пособие по высшей математике.). — ISBN 978-5-354-00018-0.
2. ↑ Shea Engle. Regularity of Divergent Series (англ.) // University of Washington, Department of Mathematics. : статья. — 2019. — 10 July.

На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии. Пожалуйста, установите ссылки в соответствии с принятыми рекомендациями. (18 декабря 2024)