Теорема Тёплица — Википедия

Теорема Тёплица (Сильвермана — Тёплица) — результат математического анализа, позволяющий устанавливать на основании сходимости произвольной последовательности ${\displaystyle z_{n}}$ сходимость последовательностей взвешенных сумм этой последовательности^[1]. Применяется, например, для определения регулярности методов суммирования расходящихся рядов^[2].

Формулируется для бесконечного треугольника комплексных чисел (весов) ${\displaystyle a_{i,j}}$, ${\displaystyle j\leqslant i}$:

${\displaystyle a_{1,1}}$
${\displaystyle a_{2,1}}$	${\displaystyle a_{2,2}}$
${\displaystyle a_{3,1}}$	${\displaystyle a_{3,2}}$	${\displaystyle a_{3,3}}$
${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle \ldots }$
${\displaystyle a_{n,1}}$	${\displaystyle a_{n,2}}$	${\displaystyle a_{n,3}}$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle a_{n,n}}$
${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle \ldots }$

элементы которого удовлетворяют следующим условиям:

• элементы по столбцам сходятся к нулю: для всякого фиксированного ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$ выполняется ${\displaystyle \lim _{i\to \infty }{a_{i,j}}=0}$;
• множество сумм модулей элементов по строкам ограничено: ${\displaystyle M=\sup _{i\in \mathbb {N} }\left\{\sum _{j=1}^{i}{\left|a_{i,j}\right|}\right\}<\infty }$;

если последовательность комплексных чисел ${\displaystyle z_{n}}$ сходится к ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }z_{n}=z_{\infty }}$, то для ${\displaystyle S_{n}}$ — последовательности сумм элементов ${\displaystyle z_{n}}$, взвешенных числами треугольника: ${\displaystyle S_{n}=\sum _{m=1}^{n}{\left(a_{n,m}z_{n}\right)}}$ выполнено:

• если ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }z_{n}=z_{\infty }=0}$, тогда ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{S_{n}}=0}$;
• если ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }z_{n}=z_{\infty }\neq 0}$ и ${\displaystyle \lim _{i\to \infty }\sum _{j=1}^{i}a_{i,j}=1}$, то ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{S_{n}}=z_{\infty }}$.

Последовательность средних арифметических: при выборе ${\displaystyle a_{i,j}={\frac {1}{i}}}$ из ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }z_{n}=z_{\infty }}$ следует, что последовательность средних арифметических этой последовательности ${\displaystyle S_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{m=1}^{n}{z_{n}}}$ сходится и имеет тот же предел. Это подтверждает регулярность метода Чезаро суммирования последовательностей.

Последовательность средних гармонических: для последовательности ${\displaystyle z_{n}}$, сходящейся к ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }z_{n}=z_{\infty }\neq 0}$ и не содержащей нулей, определяя последовательность средних геометрических ${\displaystyle S_{n}={\frac {n}{{\frac {1}{\left|z_{1}\right|}}+{\frac {1}{\left|z_{2}\right|}}+\ldots +{\frac {1}{\left|z_{n}\right|}}}}}$ и выбирая в теореме Тёплица веса, равными ${\displaystyle a_{i,j}={\frac {1}{\left|z_{j}\right|}}\cdot {\frac {1}{{\frac {1}{\left|z_{1}\right|}}+{\frac {1}{\left|z_{2}\right|}}+\ldots +{\frac {1}{\left|z_{i}\right|}}}}>0}$, получается:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{i}a_{i,j}={\frac {1}{{\frac {1}{\left|z_{1}\right|}}+{\frac {1}{\left|z_{2}\right|}}+\ldots +{\frac {1}{\left|z_{i}\right|}}}}\cdot \sum _{j=1}^{i}{\frac {1}{\left|z_{j}\right|}}=1}$

для натуральных ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$, а также:

${\displaystyle \lim _{j\to \infty }{\frac {1}{\left|z_{j}\right|}}={\frac {1}{\left|z_{\infty }\right|}}\neq 0}$,

а потому знакопостоянный ряд ${\displaystyle {\frac {1}{\left|z_{1}\right|}}+{\frac {1}{\left|z_{2}\right|}}+\ldots +{\frac {1}{\left|z_{i}\right|}}+\ldots }$ расходится и ${\displaystyle \lim _{i\to \infty }{a_{i,j}}=0}$. Следовательно, условия теоремы Тёплица выполняются, и имеет место:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{S_{n}}=\lim _{n\to \infty }\sum _{m=1}^{n}{\left(a_{n,m}\left|z_{n}\right|\right)}=z_{\infty }}$.

Теорема Штольца может быть рассмотрена как частный случай теоремы Тёплица, если её применить к вещественнозначной последовательности ${\displaystyle z_{n}={\frac {x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}}$, где также ${\displaystyle x_{n}\in \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle y_{n}\in \mathbb {R} }$, с выбором весов ${\displaystyle a_{i,j}={\frac {y_{j}-y_{j-1}}{y_{i}}}}$, в таком случае получается ${\displaystyle S_{n}={\frac {x_{n}-x_{1}}{y_{n}}}}$.

На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии. Пожалуйста, установите ссылки в соответствии с принятыми рекомендациями. (18 декабря 2024)