Тест Пепина — Википедия
|
Тест Пепина — тест простоты для чисел Ферма Тест назван в честь французского математика Феофила Пепина[англ.].
Описание
[править | править код]Число нужно возвести в степень (в некоторых алгоритмах это реализуется с помощью серии из последовательных возведений в квадрат) по модулю . Если результат сравним по модулю с −1, то является простым, а в противном случае — составным.
Это утверждение представляет собой следующую теорему:
Теорема. При n ≥ 1'число Ферма является простым тогда и только тогда, когда .
Предположим, что сравнение верно. Тогда условие теоремы Люка выполняется при , , следовательно, является простым числом. Обратно, пусть — простое число. Так как — четное число, то , следовательно, . Но , поэтому символ Лежандра равен −1. Следовательно, 3 не является квадратичным вычетом по модулю . Необходимое сравнение следует из критерия Эйлера.■
Вариации и обобщения
[править | править код]Тест Пепина является частным случаем теста Люка.
Число 3 в тесте Пепина может быть заменено на 5, 6, 7 или 10 (последовательность A129802 в OEIS), которые также являются первообразными корнями по модулю каждого простого числа Ферма.
Известно, что Пепин привёл критерий с числом 5 вместо числа 3. Прот и Люка отметили, что можно также использовать число 3.
Вычислительная сложность
[править | править код]Так как тест Пепина требует возведений в квадрат по модулю , то он выполняется за время, имеющее полиномиальную зависимость от длины числа но сверхэкспоненциальную относительно длины числа n ().
История
[править | править код]Из-за большого размера чисел Ферма, тест Пепина был использован лишь 8 раз (на числах Ферма, чья простота ещё не была доказана или опровергнута)[1][2][3]. Майер, Пападопулос и Крэндалл даже предположили, что, чтобы выполнить тесты Пепина на дальнейшних числах Ферма, понадобится несколько десятилетий, поскольку размеры ещё не исследованных чисел Ферма очень велики[4]. По состоянию на 2023 год наименьшим непроверенным числом Ферма является , которое содержит 2 585 827 973 десятичных цифр. На стандартном оборудовании потребуются тысячи лет, чтобы тест Пепина проверил такое число, и для работы со столь огромными числами Ферма возникает острая нужда в новых алгоритмах.
Год | Исследователи | Число Ферма | Результат теста Пепина | Удалось ли найти делитель? |
---|---|---|---|---|
1905 | Джеймс С. Морхед и Альфред Вестерн | составное | Да (1970) | |
1909 | Джеймс С. Морхед и Альфред Вестерн | составное | Да (1980) | |
1952 | Рафаэль М. Робинсон | составное | Да (1953) | |
1960 | Г. А. Паксон | составное | Да (1974) | |
1961 | Джон Селфридж и Александр Гурвиц | составное | Да (2010) | |
1987 | Дункан Бьюэл и Джеффри Янг | [5] | составное | Нет |
1993 | Ричард Крэндалл, Дж. Диньяс, С. Норри и Джеффри Янг | [6] | составное | Да (2010) |
1999 | Эрнст В. Майер, Джейсон С. Пападопулос и Ричард Крэндалл | составное | Нет |
Примечания
[править | править код]- ↑ Conjecture 4. Fermat primes are finite — Pepin tests story, according to Leonid Durman Архивная копия от 24 сентября 2015 на Wayback Machine (англ.)
- ↑ Wilfrid Keller: Fermat factoring status Архивировано 10 февраля 2016 года. (англ.)
- ↑ R. M. Robinson (1954): Mersenne and Fermat numbers Архивная копия от 26 января 2015 на Wayback Machine (англ.)
- ↑ Richard E. Crandall, Ernst W. Mayer & Jason S. Papadopoulos (2003), The twenty-fourth Fermat number is composite Архивная копия от 8 октября 2014 на Wayback Machine (англ.)
- ↑ Jeff Young & Duncan A. Buell (1988): The twentieth Fermat number is composite Архивная копия от 4 сентября 2014 на Wayback Machine, 261—263. (англ.)
- ↑ R. Crandall, J. Doenias, C. Norrie, and J. Young (1995): The twenty-second Fermat number is composite Архивная копия от 29 ноября 2014 на Wayback Machine, 863—868. (англ.)
Литература
[править | править код]- P. Pépin. Sur la formule // Comptes Rendus Acad. Sci. Paris. — 1877. — № 85. — С. 329—333.
- Крэндалл Р., Померанс К. . Простые числа. — 2011. — С. 198—200.