Уравнение Пелля — Википедия
В математике уравнение Пелля — диофантово уравнение вида
где — натуральное число, не являющееся квадратом.
Простейшие свойства
[править | править код]- Пары всегда являются решениями, называемыми тривиальными.
- Ввиду симметрии достаточно найти все решения с положительными и .
- Если является полным квадратом, то у уравнения нет нетривиальных решений, поскольку в левой части стоит разность двух полных квадратов, что объясняет ограничение на параметр .
Эквивалентные формулировки и связь с теорией полей
[править | править код]Пара является решением уравнения Пелля тогда и только тогда, когда норма числа в расширении поля равна единице:
В частности, решению соответствует единица кольца . Поэтому, а также в силу мультипликативности нормы, решения можно как «умножать», так и «делить»: решениям и можно поставить в соответствие решения
Кроме того, существование нетривиальных решений таким образом может быть выведено из теоремы Дирихле о единицах (утверждающей в данном случае, что ранг группы единиц кольца целых расширения равен 1).
Связь с цепными дробями
[править | править код]Легко видеть, что при больших и , являющихся решениями уравнения Пелля, отношение должно быть близким к . Оказывается, что верно и более сильное утверждение: такая дробь должна быть подходящей дробью для , и имеет место следующий критерий:
Числитель и знаменатель подходящей дроби для являются решением уравнения Пелля тогда и только тогда, когда номер этой подходящей дроби нечётен и сравним с по модулю , где — период цепной дроби для . |
История
[править | править код]Первые упоминания о таком уравнении были найдены в работах математиков Древней Греции и Древней Индии. Общий способ решения уравнения — так называемый «циклический метод» — присутствует в работах индийского математика VII века Брахмагупты, впрочем, без доказательства, что этот метод всегда приводит к решению. В общем виде задачу сформулировал французский математик Пьер Ферма, поэтому во Франции данное уравнение называется «уравнением Ферма». Современное же название уравнения возникло благодаря Леонарду Эйлеру, ошибочно приписавшему их авторство Джону Пеллю.
![]() | Этот раздел не завершён. |
См. также
[править | править код]- Теорема Матиясевича
- Десятая проблема Гильберта
- Метод «чакравала» — метод нахождения наименьшего нетривиального решения.
- Цепная дробь
Литература
[править | править код]- Бугаенко В. О. Уравнения Пелля. — М.: МЦНМО, 2001. — ISBN 5-900916-96-0.
- Бухштаб А. А. Теория чисел. — М.: Учпедгиз, 1960.
- Ван дер Варден. Уравнение Пелля в математике греков и индийцев // УМН. — 1976. — Т. 31, вып. 5(191). — С. 57—70.
- Сендеров В., Спивак А. Уравнения Пелля (часть I) // Квант. — 2002. — № 3. — С. 2—9.
- Спивак А. Уравнения Пелля (часть II) // Квант. — 2002. — № 4. — С. 5—11.
- Спивак А. Уравнения Пелля (часть III) // Квант. — 2002. — № 6. — С. 10—15.