Характер кубического вычета — Википедия
Характер кубического вычета — теоретико-числовая функция двух аргументов, являющаяся частным случаем символа степенного вычета[англ.]. Также является характером в простом поле.
Характер кубического вычета является аналогом символа Лежандра, и для его вычисления используется кубический закон взаимности, являющийся аналогом квадратичного закона взаимности.
Определение
[править | править код]Пусть
- |
кубический корень из единицы.
Рассмотрим D=Z[w] — кольцо чисел Эйзенштейна, то есть чисел вида
, |
где a и b — целые числа.
Пусть — простое в кольце D с нормой , такое что . В этом случае делится на 3. Определим характер кубического вычета следующим образом:
- , если делится на .
- иначе.
Заметим, что при , не делящем , значение характера кубического вычета принимает одно из трёх значений: .
Кубический закон взаимности
[править | править код]Назовём примарным, если оно является простым в D и сравнимо с 2 по модулю 3. Пусть и — примарные, тогда
|
Другие свойства характера кубического вычета
[править | править код]- тогда и только тогда, когда сравнение разрешимо в Z[ω], то есть тогда и только тогда, когда — кубический вычет
- Мультипликативность:
- Периодичность: если , то
- Если — примарное, то
Список литературы
[править | править код]- Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — Москва: Мир, 1987.
- Franz Lemmermeyer. Reciprocity laws: From Euler to Eisenstein. — Springer Verlag, 2000. — ISBN 3-540-66957-4.
В другом языковом разделе есть более полная статья Cubic reciprocity (англ.). |