Exakt differentialform – Wikipedia

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2023-07) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

En differentialform ${\displaystyle \omega =u_{1}({\bar {x}})dx_{1}+u_{2}({\bar {x}})dx_{2}+\cdots +u_{k}({\bar {x}})dx_{k}}$ av klass ${\displaystyle {\textbf {C}}^{1}}$, definierad i ett öppet område ${\displaystyle \Omega \in {\textbf {R}}^{n}}$, säges vara exakt om den är differentialen till ett skalärfält, d.v.s. om det finns ett skalärfält ${\displaystyle \Phi }$ i ${\displaystyle \Omega }$ sådant att

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial x_{i}}}=u_{i},i=1,2,\dots ,k}$

För en differentialform η på en allmän differentierbar mångfald gäller att η är exakt om det finns en form ω sådan att ${\displaystyle d\omega =\eta }$. Här betecknar d den yttre derivatan.

Varje exakt differentialform av klass ${\displaystyle {\textbf {C}}^{1}}$ är sluten.

• Sluten differentialform