Uppslagsordet ”ln” leder hit. För Unix-kommandot, se ln (kommando) . Naturliga logaritmen Hyperbeln y = 1/x (blå kurva) och arean från x = 1 till 6 (skuggad). Denna area är lika med den naturliga logaritmen av 6.Naturliga logaritmen är en logaritm med basen e transcendent tal approximativt lika med 2,718. Den naturliga logaritmen av ett tal x skrivs ofta ln(x ) och är definierad för alla strikt positiva tal .[ 1]
e ln x = x om x > 0 {\displaystyle \mathrm {e} ^{\ln x}=x\qquad {\mbox{om }}x>0} ln e x = x {\displaystyle \ln \mathrm {e} ^{x}=x} I likhet med alla logaritmiska funktioner, mappas multiplikation till addition:
ln ( x y ) = ln x + ln y {\displaystyle \ln(xy)=\ln x+\ln y} Naturliga logaritmen kan definieras med integralen
ln x = ∫ 1 x 1 t d t {\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt} Ett tidigt omnämnande av naturlig logaritm gjordes av Nicholas Mercator i verket Logarithmotechnia 1658, men matematikläraren John Speidell hade redan 1619 sammanställt en tabell över naturliga logaritmer.[ 2]
ln e = 1 {\displaystyle \ln \mathrm {e} =1} ln ( x y ) = ln x + ln y ; x > 0 , y > 0 {\displaystyle \ln(xy)=\ln x+\ln y;\quad \quad x>0,\ y>0} ln x y = ln x − ln y ; x > 0 , y > 0 {\displaystyle \ln {\frac {x}{y}}=\ln x-\ln y;\quad \quad x>0,\ y>0} ln x < ln y ; 0 < x < y {\displaystyle \ln x<\ln y;\quad \quad 0<x<y} lim x → 0 ln ( 1 + x ) x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1} lim n → 0 x n − 1 n = ln x {\displaystyle \lim _{n\to 0}{\frac {x^{n}-1}{n}}=\ln x} ln x y = y ln x ; x > 0 {\displaystyle \ln x^{y}=y\,\ln x;\quad \quad x>0} x − 1 x ≤ ln x ≤ x − 1 ; x > 0 {\displaystyle {\frac {x-1}{x}}\leq \ln x\leq x-1;\quad \quad x>0} ln ( 1 + x α ) ≤ α x ; x ≥ 0 , α ≥ 1 {\displaystyle \ln {(1+x^{\alpha })}\leq \alpha x;\quad \quad x\geq 0,\ \alpha \geq 1} Taylorpolynomen för ln(1 + x ) ger noggranna approximationer endast i intervallet −1 < x ≤ 1. Notera att, för x > 1, ger taylorpolynomen av högre gradtal sämre approximationer Den naturliga logaritmens derivata ges av
d d x ln ( x ) = 1 x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(x)={\frac {1}{x}}} Bevis:
d d x ln ( x ) = lim h → 0 ln ( x + h ) − ln ( x ) h {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(x+h)-\ln(x)}{h}}} = lim h → 0 ln ( x + h x ) h {\displaystyle =\lim _{h\to 0}{\frac {\ln({\frac {x+h}{x}})}{h}}} = lim h → 0 [ 1 h ln ( 1 + h x ) ] {\displaystyle =\lim _{h\to 0}\left[{\frac {1}{h}}\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)\right]\quad } = lim h → 0 ln ( [ 1 + h x ] 1 h ) {\displaystyle =\lim _{h\to 0}\ln \left(\left[1+{\frac {h}{x}}\right]^{\frac {1}{h}}\right)} Låt u = h x ⇒ u x = h {\displaystyle u={\frac {h}{x}}\Rightarrow ux=h} 1 h = 1 u x {\displaystyle {\frac {1}{h}}={\frac {1}{ux}}} d d x ln ( x ) = lim u → 0 ln ( [ 1 + u ] 1 u x ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(x)=\lim _{u\to 0}\ln \left([1+u]^{\frac {1}{ux}}\right)} = lim u → 0 ln ( [ [ 1 + u ] 1 u ] 1 x ) {\displaystyle =\lim _{u\to 0}\ln \left(\left[[1+u]^{\frac {1}{u}}\right]^{\frac {1}{x}}\right)} = 1 x lim u → 0 ln ( [ 1 + u ] 1 u ) {\displaystyle ={\frac {1}{x}}\lim _{u\to 0}\ln \left([1+u]^{\frac {1}{u}}\right)} Låt n = 1 u ⇒ u = 1 n {\displaystyle n={\frac {1}{u}}\Rightarrow u={\frac {1}{n}}} d d x ln ( x ) = 1 x lim n → ∞ ln ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(x)={\frac {1}{x}}\lim _{n\to \infty }\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}} = 1 x ln ( lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n ) {\displaystyle ={\frac {1}{x}}\ln \left(\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right)} = 1 x ln e = 1 x {\displaystyle ={\frac {1}{x}}\ln \mathrm {e} \ =\ {\frac {1}{x}}} Detta leder till taylorserierna för ln(1 + x ) kring 0 (också kända som mercatorserierna ):
ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n x n = x − x 2 2 + x 3 3 − ⋯ ; | x | ≤ 1 , x ≠ − 1 {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots \ ;\qquad \left|x\right|\leq 1,\ x\neq -1} 
French
Deutsch
![{\displaystyle =\lim _{h\to 0}\left[{\frac {1}{h}}\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)\right]\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d8ec064c03dca33ec9440c431407ea9090bbe1)
![{\displaystyle =\lim _{h\to 0}\ln \left(\left[1+{\frac {h}{x}}\right]^{\frac {1}{h}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d1d3421de5d990d1e29ca4b0fafe6af365381cd)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(x)=\lim _{u\to 0}\ln \left([1+u]^{\frac {1}{ux}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d76ecd656eb1c9bc2f4b0c36510b898d9118c31)
![{\displaystyle =\lim _{u\to 0}\ln \left(\left[[1+u]^{\frac {1}{u}}\right]^{\frac {1}{x}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dc6b043305c66967e5cf62264a3a185c7590c09)
![{\displaystyle ={\frac {1}{x}}\lim _{u\to 0}\ln \left([1+u]^{\frac {1}{u}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41b35452d8970ca852763123618f645184870fb8)
