Supremumnormen , även kallad Tjebysjovnormen eller informellt oändlighetsnormen , är inom matematisk analys en norm för funktioner . Normen tilldelar ett reellt positivt tal till en reell eller komplex funktion . Förenklat kan man säga att supremumnormen mäter "storleken" på en funktion.
Låt X vara en mängd och R X := { f | f : X → R } {\displaystyle \mathbb {R} ^{X}:=\{f|f:X\rightarrow \mathbb {R} \}} . Supremumnormen för f ∈ R X {\displaystyle f\in \mathbb {R} ^{X}} är talet
‖ f ‖ ∞ := sup { | f ( x ) | : x ∈ X } {\displaystyle \|f\|_{\infty }:=\sup\{|f(x)|:x\in X\}} . Fast ‖ ⋅ ‖ ∞ {\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }} kallas supremumnormen är detta inte alltid en norm i R X {\displaystyle \mathbb {R} ^{X}\,} . T. ex. om X = R {\displaystyle X=\mathbb {R} } vi har
‖ x ↦ x ‖ ∞ = ∞ {\displaystyle \|x\mapsto x\|_{\infty }=\infty } men normen måste vara ändlig. Så man får istället definiera mängden av alla begränsade funktioner :
B ( X , R ) := { f ∈ R X : ‖ f ‖ ∞ < ∞ } {\displaystyle {\mathcal {B}}(X,\mathbb {R} ):=\{f\in \mathbb {R} ^{X}:\|f\|_{\infty }<\infty \}} då supremumnormen är en norm, dvs paret ( B ( X , R ) , ‖ ⋅ ‖ ∞ ) {\displaystyle ({\mathcal {B}}(X,\mathbb {R} ),\|\cdot \|_{\infty })} är ett normerat rum . Det här är ett resultat från absolutbeloppets egenskaper.
Man kan inducera en metrik från supremumnormen som mäter avståndet mellan två begränsade funktioner:
d ( f , g ) := ‖ f − g ‖ ∞ {\displaystyle d(f,g):=\|f-g\|_{\infty }} . Så att en följd av funktioner, ( f n ) {\displaystyle (f_{n})} , konvergerar likformigt till en funktion f {\displaystyle f} om och endast om
lim n → ∞ ‖ f n − f ‖ ∞ = 0. {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=0.} Element x i R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} med ‖ x ‖ ∞ = k {\displaystyle \|x\|_{\infty }=k} , där k är en konstant. Om X = { 1 , 2 , . . . , n } {\displaystyle X=\{1,2,...,n\}\,} , för n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } , är R X = R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{X}=\mathbb {R} ^{n}} . Supremum kan alltså här ersättas med maximum: ‖ x ‖ ∞ = max { | x i | : i ∈ { 1 , 2 , . . . , n } } {\displaystyle \|x\|_{\infty }=\max\{|x_{i}|:i\in \{1,2,...,n\}\}} för x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) ∈ R n {\displaystyle x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}} och ( R n , ‖ ⋅ ‖ ∞ ) {\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\|\cdot \|_{\infty })} är ett normerat rum. Om vi har ett måttstruktur i X kan vi generalisera supremumnormen. Låt ( X , F , μ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )} vara ett måttrum och
M ( X , R ) := { f ∈ R X : f är F -mätbara } {\displaystyle {\mathcal {M}}(X,\mathbb {R} ):=\{f\in \mathbb {R} ^{X}:f{\mbox{ är }}{\mathcal {F}}{\mbox{-mätbara}}\}} . Då är väsentliga supremumnormen för f ∈ M ( X , R ) {\displaystyle f\in {\mathcal {M}}(X,\mathbb {R} )}
‖ f ‖ ∞ ess := ess sup | f | = inf { r ∈ R : μ ( { x ∈ X : | f ( x ) | > r } ) = 0 } . {\displaystyle \|f\|_{\infty }^{\operatorname {ess} }:=\operatorname {ess} \sup |f|=\inf\{r\in \mathbb {R} :\mu (\{x\in X:|f(x)|>r\})=0\}.} där ess sup {\displaystyle \operatorname {ess} \sup } är väsentligt supremum .
Några egenskaper för väsentliga supremumnormen är:
‖ f ‖ ∞ e s s ≤ ‖ f ‖ ∞ {\displaystyle \|f\|_{\infty }^{\mathrm {ess} }\leq \|f\|_{\infty }} , ‖ a f ‖ ∞ e s s = | a | ‖ f ‖ ∞ e s s {\displaystyle \|af\|_{\infty }^{\mathrm {ess} }=|a|\|f\|_{\infty }^{\mathrm {ess} }} och ‖ f + g ‖ ∞ e s s ≤ ‖ f ‖ ∞ e s s + ‖ g ‖ ∞ e s s {\displaystyle \|f+g\|_{\infty }^{\mathrm {ess} }\leq \|f\|_{\infty }^{\mathrm {ess} }+\|g\|_{\infty }^{\mathrm {ess} }} för alla f , g ∈ M ( X , R ) {\displaystyle f,g\in {\mathcal {M}}(X,\mathbb {R} )} och a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } . Detta ger att ( B ( X , R ) ∩ M ( X , R ) , ‖ ⋅ ‖ ∞ e s s ) {\displaystyle ({\mathcal {B}}(X,\mathbb {R} )\cap {\mathcal {M}}(X,\mathbb {R} ),\|\cdot \|_{\infty }^{\mathrm {ess} })} är ett (seminormerat rum .
Seminormen ‖ ⋅ ‖ ∞ e s s {\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }^{\mathrm {ess} }} är inte en norm eftersom det finns funktioner som inte är nollfunktionen men som har en väsentligt supremumnorm som är noll, om exempelvis ( X , F , μ ) = ( R , L e b R , L 1 ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )=(\mathbb {R} ,\mathrm {Leb} \mathbb {R} ,{\mathcal {L}}_{1})} får man att
‖ χ N ‖ ∞ e s s = 0 {\displaystyle \|\chi _{\mathbb {N} }\|_{\infty }^{\mathrm {ess} }=0} där χ N {\displaystyle \chi _{\mathbb {N} }} är indikatorfunktionen för de naturliga talen. Resultatet ovan fås då L 1 ( N ) = 0 {\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}(\mathbb {N} )=0} men
χ N ≠ 0 {\displaystyle \chi _{\mathbb {N} }\neq \mathbf {0} } . Men man kan definiera en ekvivalensrelation i B ( X , R ) ∩ M ( X , R ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(X,\mathbb {R} )\cap {\mathcal {M}}(X,\mathbb {R} )} genom att
f ∼ g {\displaystyle f\sim g\,} om och endast om ‖ f ‖ ∞ e s s = ‖ g ‖ ∞ e s s {\displaystyle \|f\|_{\infty }^{\mathrm {ess} }=\|g\|_{\infty }^{\mathrm {ess} }} och definiera väsentliga supremumnormen för ekvivalensklasser
‖ f ∼ ‖ ∞ e s s := ‖ f ‖ ∞ e s s {\displaystyle \|f^{\sim }\|_{\infty }^{\mathrm {ess} }:=\|f\|_{\infty }^{\mathrm {ess} }} där f ∼ {\displaystyle f^{\sim }} är ekvivalensklassen med representant f :
f ∼ := { g ∈ B ( X , R ) ∩ M ( X , R ) : f ∼ g } . {\displaystyle f^{\sim }:=\{g\in {\mathcal {B}}(X,\mathbb {R} )\cap {\mathcal {M}}(X,\mathbb {R} ):f\sim g\}.} Med denna struktur fås att ( B ( X , R ) ∩ M ( X , R ) / ∼ , ‖ ⋅ ‖ ∞ e s s ) {\displaystyle ({\mathcal {B}}(X,\mathbb {R} )\cap {\mathcal {M}}(X,\mathbb {R} )/\sim ,\|\cdot \|_{\infty }^{\mathrm {ess} })} är ett normerat rum.
En fördel med väsentliga supremumnormen är att man kan få med fler funktioner i sitt normerade rum, då det finns måttrum ( X , F , μ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )} och funktioner f ∈ M ( X , R ) {\displaystyle f\in {\mathcal {M}}(X,\mathbb {R} )} som har ‖ f ‖ ∞ e s s < ∞ {\displaystyle \|f\|_{\infty }^{\mathrm {ess} }<\infty } men ‖ f ‖ ∞ = ∞ {\displaystyle \|f\|_{\infty }=\infty } .
Till exempel, om ( X , F , μ ) = ( R , L e b R , L 1 ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )=(\mathbb {R} ,\mathrm {Leb} \mathbb {R} ,{\mathcal {L}}_{1})} får man att
‖ 1 N ⋅ exp ‖ ∞ e s s = 0 {\displaystyle \|\mathbf {1} _{\mathbb {N} }\cdot \exp \|_{\infty }^{\mathrm {ess} }=0} eftersom L 1 ( N ) = 0 {\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}(\mathbb {N} )=0} men
‖ 1 N ⋅ exp ‖ ∞ = ∞ {\displaystyle \|\mathbf {1} _{\mathbb {N} }\cdot \exp \|_{\infty }=\infty } eftersom exp ( n ) → ∞ {\displaystyle \exp(n)\rightarrow \infty } när n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty } .
Följaktligen kan man generalisera B ( X , R ) ∩ M ( X , R ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(X,\mathbb {R} )\cap {\mathcal {M}}(X,\mathbb {R} )} . Låt
L ∞ = L ∞ ( X , F , μ ) := { f ∈ M ( X , R ) : ‖ f ‖ ∞ e s s < ∞ } . {\displaystyle L^{\infty }=L^{\infty }(X,{\mathcal {F}},\mu ):=\{f\in {\mathcal {M}}(X,\mathbb {R} ):\|f\|_{\infty }^{\mathrm {ess} }<\infty \}.} Så att
B ( X , R ) ∩ M ( X , R ) ⊂ L ∞ {\displaystyle {\mathcal {B}}(X,\mathbb {R} )\cap {\mathcal {M}}(X,\mathbb {R} )\subset L^{\infty }} och ( L ∞ , ‖ ⋅ ‖ ∞ e s s ) {\displaystyle (L^{\infty },\|\cdot \|_{\infty }^{\mathrm {ess} })} är ett seminormerat rum. Man kan transformera ( L ∞ , ‖ ⋅ ‖ ∞ e s s ) {\displaystyle (L^{\infty },\|\cdot \|_{\infty }^{\mathrm {ess} })} till ett normerat rum med ekvivalensrelationen ∼ {\displaystyle \sim \,} ovan.
Om f är en funktion så att ‖ f ‖ p < ∞ {\displaystyle \|f\|_{p}<\infty \,} och ‖ f ‖ ∞ ess < ∞ {\displaystyle \|f\|_{\infty }^{\text{ess}}<\infty } så gäller att
lim q → ∞ ‖ f ‖ q = ‖ f ‖ ∞ ess {\displaystyle \lim _{q\to \infty }\|f\|_{q}=\|f\|_{\infty }^{\text{ess}}} . Låt q {\displaystyle q} vara större än p {\displaystyle p} .
‖ f ‖ q = ( ∫ | f | q ) 1 / q = ( ∫ | f | p | f | q − p ) 1 / q {\displaystyle \|f\|_{q}=\left(\int |f|^{q}\right)^{1/q}=\left(\int |f|^{p}|f|^{q-p}\right)^{1/q}} Eftersom q − p > 0 {\displaystyle q-p>0} är detta mindre än
( ∫ | f | p ‖ f ‖ ∞ q − p ) 1 / q = ‖ f ‖ ∞ 1 − p / q ( ∫ | f | p ) 1 / q {\displaystyle \left(\int |f|^{p}\|f\|_{\infty }^{q-p}\right)^{1/q}=\|f\|_{\infty }^{1-p/q}\left(\int |f|^{p}\right)^{1/q}} Eftersom 1 − p / q > 0 {\displaystyle 1-p/q>0} är detta mindre än
‖ f ‖ ∞ ( ∫ | f | p ) 1 / q → ‖ f ‖ ∞ {\displaystyle \|f\|_{\infty }\left(\int |f|^{p}\right)^{1/q}\to \|f\|_{\infty }} när q → ∞ {\displaystyle q\to \infty \,} För den omvända olikheten, definiera E = { x | f ( x ) > a } {\displaystyle E=\{x|f(x)>a\}\,} . Då är
‖ f ‖ q ≥ ( ∫ E | f | q ) 1 / q ≥ a μ ( E ) 1 / q → a {\displaystyle \|f\|_{q}\geq \left(\int _{E}|f|^{q}\right)^{1/q}\geq a\mu (E)^{1/q}\to a} när q → ∞ {\displaystyle q\to \infty \,} . Detta gäller för alla a < ‖ f ‖ ∞ {\displaystyle a<\|f\|_{\infty }} .