Enhetscirkeln Trigonometriska ettan är ett trigonometriskt samband som erhålls om Pythagoras sats tillämpas på enhetscirkeln (figur 1):[ 1]
sin 2 t + cos 2 t = 1 . {\displaystyle \sin ^{2}t+\cos ^{2}t=1\,.} Omstrukturerad ger trigonometriska ettan de mycket användbara:
sin 2 t = 1 − cos 2 t {\displaystyle \sin ^{2}t=1-\cos ^{2}t} och cos 2 t = 1 − sin 2 t {\displaystyle \cos ^{2}t=1-\sin ^{2}t} . vilka genom division med cos 2 t {\displaystyle \cos ^{2}t} ger (efter lite omstrukturering[ 2] ):
sin 2 t = tan 2 t 1 + tan 2 t {\displaystyle \sin ^{2}t={\frac {\tan ^{2}t}{1+\tan ^{2}t}}} och cos 2 t = 1 1 + tan 2 t {\displaystyle \cos ^{2}t={\frac {1}{1+\tan ^{2}t}}} . medan division med sin 2 t {\displaystyle \sin ^{2}t} på samma sätt ger:
sin 2 t = 1 1 + cot 2 t {\displaystyle \sin ^{2}t={\frac {1}{1+\cot ^{2}t}}} och cos 2 t = cot 2 t 1 + cot 2 t {\displaystyle \cos ^{2}t={\frac {\cot ^{2}t}{1+\cot ^{2}t}}} . Och om vi i stället dividerar sin 2 t = 1 − cos 2 t {\displaystyle \sin ^{2}t=1-\cos ^{2}t} och cos 2 t = 1 − sin 2 t {\displaystyle \cos ^{2}t=1-\sin ^{2}t} med varandra får vi:
tan 2 t = sin 2 t 1 − sin 2 t = 1 − cos 2 t cos 2 t {\displaystyle \tan ^{2}t={\frac {\sin ^{2}t}{1-\sin ^{2}t}}={\frac {1-\cos ^{2}t}{\cos ^{2}t}}} och omvänt cot 2 t = cos 2 t 1 − cos 2 t = 1 − sin 2 t sin 2 t {\displaystyle \cot ^{2}t={\frac {\cos ^{2}t}{1-\cos ^{2}t}}={\frac {1-\sin ^{2}t}{\sin ^{2}t}}} För att göra listan fullständig har vi från definitionerna av tangens och cotangens även:
tan 2 t = 1 cot 2 t {\displaystyle \tan ^{2}t={\frac {1}{\cot ^{2}t}}} cot 2 t = 1 tan 2 t {\displaystyle \cot ^{2}t={\frac {1}{\tan ^{2}t}}} I rätvinkliga trianglar har man följande relationer för en vinkel x {\displaystyle x} med motstående katet a {\displaystyle a} , närliggande katet b {\displaystyle b} och hypotenusan c {\displaystyle c} :
sin x = a c {\displaystyle \sin x={\frac {a}{c}}} cos x = b c {\displaystyle \cos x={\frac {b}{c}}} Av detta följer
sin 2 x + cos 2 x = a 2 + b 2 c 2 = 1 {\displaystyle {\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}=1} Den sista likheten följer av sambandet a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} enligt Pythagoras sats.
Observera att detta endast bevisar satsen för vinklar mellan 0 och π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} radianer. För att bevisa satsen för de vinklar x {\displaystyle \ x} som uppfyller − π ≤ x ≤ π {\displaystyle -\pi \leq x\leq \pi } (detta intervall är tillräckligt då sinus och cosinus är periodiska funktioner), kan man se att
cos ( x + π 2 ) = − sin x {\displaystyle \cos(x+{\frac {\pi }{2}})=-\sin x} sin ( x + π 2 ) = cos x {\displaystyle \sin(x+{\frac {\pi }{2}})=\cos x} Av detta följer
cos 2 ( x + π 2 ) = ( − sin ( x ) ) 2 = sin 2 x {\displaystyle {\cos }^{2}(x+{\frac {\pi }{2}})=(-\sin(x))^{2}={\sin }^{2}x} sin 2 ( x + π 2 ) = cos 2 x {\displaystyle {\sin }^{2}(x+{\frac {\pi }{2}})={\cos }^{2}x} Vilket visar att sambandet gäller för 0 ≤ x ≤ π {\displaystyle 0\leq x\leq \pi } . Vi vet att:
cos ( − x ) = cos x {\displaystyle \cos(-x)=\cos x\,} sin ( − x ) = − sin x {\displaystyle \sin(-x)=-\sin x\,} Av vilket följer
cos 2 ( − x ) = cos 2 x , {\displaystyle \ {\cos }^{2}(-x)={\cos }^{2}x,} sin 2 ( − x ) = ( − sin ( x ) ) 2 = sin x 2 {\displaystyle \ {\sin }^{2}(-x)=(-\sin(x))^{2}={\sin x}^{2}} Vilket visar att sambandet sin 2 x + cos 2 x = 1 {\displaystyle {\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1\,} gäller för intervallet − π ≤ x ≤ π {\displaystyle -\pi \leq x\leq \pi } och därmed för alla x {\displaystyle \ x} .
Koordinaterna på enhetscirkeln kan beskrivas med (där α {\displaystyle \alpha } är vinkeln):
x = cos α {\displaystyle x=\cos \alpha \,} y = sin α {\displaystyle y=\sin \alpha \,} Dessa koordinater uppfyller även sambandet (cirkelns ekvation ):
x 2 + y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1\,} Ur detta följer att
sin 2 α + cos 2 α = 1 {\displaystyle {\sin }^{2}\alpha +{\cos }^{2}\alpha =1\,} ^ Ekbom, Lennart (1978). Tabeller och formler N T Te . Nacka: Esselte Studium. sid. 56. ISBN 91-24-27604-9 ^ sin 2 t cos 2 t = 1 − cos 2 t cos 2 t = 1 c o s 2 t − c o s 2 t c o s 2 t ⇔ tan 2 t = 1 c o s 2 t − 1 ⇔ 1 + tan 2 t = 1 c o s 2 t ⇔ cos 2 t = 1 1 + tan 2 t {\displaystyle {\frac {\sin ^{2}t}{\cos ^{2}t}}={\frac {1-\cos ^{2}t}{\cos ^{2}t}}={\frac {1}{cos^{2}t}}-{\frac {cos^{2}t}{cos^{2}t}}\Leftrightarrow \tan ^{2}t={\frac {1}{cos^{2}t}}-1\Leftrightarrow 1+\tan ^{2}t={\frac {1}{cos^{2}t}}\Leftrightarrow \cos ^{2}t={\frac {1}{1+\tan ^{2}t}}} Sinusformeln kan visas analogt men erhålls även enkelt från det vi nyss visat med hjälp av trigonometriska ettan: sin 2 t = 1 − cos 2 t = 1 − 1 1 + tan 2 t = 1 + tan 2 t − 1 1 + tan 2 t = tan 2 t 1 + tan 2 t {\displaystyle \sin ^{2}t=1-\cos ^{2}t=1-{\frac {1}{1+\tan ^{2}t}}={\frac {1+\tan ^{2}t-1}{1+\tan ^{2}t}}={\frac {\tan ^{2}t}{1+\tan ^{2}t}}} .