Народився 11 листопада1984 року в місті Рейк'явік. Вихованець футбольної школи клубу «Валюр». Дорослу футбольну кар'єру розпочав 2003 року в основній команді того ж клубу, в якій провів п'ять сезонів, взявши участь у 66 матчах чемпіонату.
Своєю грою за цю команду привернув увагу представників тренерського штабу норвезького «Бранна», до складу якого приєднався 2008 року. Відіграв за команду з Бергена наступні шість сезонів своєї ігрової кар'єри. Більшість часу, проведеного у складі «Бранна», був основним гравцем захисту команди.
До складу шведського «Гаммарбю» приєднався на початку 2015 року і за три сезони встиг відіграти за стокгольмську команду 84 матчі в національному чемпіонаті, після чого на початку 2018 року повернувся в «Валюр»[1].
Загалом зіграв за збірну 103 гри і забив 3 голи. Свою останню гру за національну збірну Біркір провів проти Північної Македонії 14 листопада 2021 року.
↑Архівована копія. Архів оригіналу за 15 травня 2018. Процитовано 20 травня 2018.{{cite web}}: Обслуговування CS1: Сторінки з текстом «archived copy» як значення параметру title (посилання)