Графік функції — Вікіпедія
Графік функції | |
![]() | |
Підтримується Вікіпроєктом | Вікіпедія:Проєкт:Математика |
---|---|
![]() |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/33/Cubicpoly.svg/220px-Cubicpoly.svg.png)
Графік функції — діаграма в математиці, яка дає уявлення про геометричний образ функції.
Графіком функції називається підмножина декартового добутку на (), що містить всі пари , для яких .
Якщо простіше, то це є малюнок, на якому можна побачити як змінюється значення Y залежно від значення Х. Як правило, значення X позначають на горизонтальній прямій, яку називають віссю абсцис (x), а значення Y на перпендикулярній до неї прямій, яку називають віссю ординат (y). Ці осі разом утворюють систему координат. Кожна вісь має напрямок, у якому значення відповідної координати зростає. У точці найбільшого значення малюють стрілку, яка вказує цей напрям. На кожній осі роблять позначки окремих (ключових) значень і підписують їх цими значеннями. Це допомагає приблизно визначити інші проміжні значення. Точка з координатами називається початком координат.
Графіки елементарних функцій
[ред. | ред. код]- Пряма пропорційність
- Лінійна функція
- Обернена пропорційність
- Квадратична функція ,
Побудова графіка функції, що базується на аналітичному дослідженні функції.
Алгоритм дослідження функції:
- з'ясування області визначення функції;
- вирішується питання про парності або непарності функції;
- досліджується періодичність функції;
- знаходять точки перетину кривої з осями координат;
- знаходять точки розриву функції і визначають їх характер (такими точками є краї інтервалів визначення функції);
- проводять дослідження на екстремум, знаходять екстремальні значення функції;
- шукаються точки перегину та інтервали опуклості та угнутості кривій;
- відшукання асимптоти кривої;
- отримані результати наносять на креслення і отримують графік досліджуваної функції.
Графік функції будують за характерними точками й лініями, отриманими у результаті дослідження. Якщо їх недостатньо, знаходять допоміжні точки для деяких конкретних значень аргументу.
Провести дослідження функції та побудувати її графік.
1) Функція визначена всюди, крім точок та .
2) Функція непарна, тому що виконується умова , а саме, , і, отже, її графік симетричний відносно початку координат. Тому обмежимося дослідженням тільки для .
3) Функція не періодична.
4) Так як y = 0 лише при x = 0, то перетин з осями координат відбувається тільки на початку координат.
5) Функція має розрив другого роду в точці , причому , . Пряма — вертикальна асимптота.
6) Знаходимо і прирівнюємо її до нуля: , звідки , , . На екстремум треба досліджувати тільки точку (точку не досліджуємо, тому що вона є граничною точкою проміжку .
В околі точки має: при та при , отже, в точці функція має максимум, .
Для перевірки правильності знаходження мінімального та максимального значення.
7) Знаходимо . Бачимо, що лише при , при цьому при та при , отже, в точці (0,0) крива має перегин. Іноді напрямок угнутості може змінитися при переході через розрив кривої, тому слід з'ясувати знак і близько точок розриву функції. У даному випадку на проміжку i на , отже, на крива ввігнута і опукла на .
8) Знаходимо асимптоти.
Наявність вертикальної асимптоти встановлено вище. Шукаємо горизонтальні: , отже, горизонтальних асимптот немає.
Знайдемо похилі асимптоти:
, , виходячи з цього, — нахилена двобічна асимптота.
9) Тепер, використовуючи отримані дані, будуємо креслення.
- Побудова графіків функцій // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 190. — 594 с.
- Загальний план дослідження функції та побудова її графіків // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 324. — 594 с.
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
- Weisstein, Eric W. «Function Graph [Архівовано 7 серпня 2020 у Wayback Machine.].» From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
- Динамічні математичні моделі[недоступне посилання з липня 2019]