Гіперкомплексний аналіз — Вікіпедія

У математиці гіперкомплексний аналіз є розширенням комплексного аналізу на гіперкомплексні числа. Перший приклад — це функції від кватерніонної змінної, де аргумент є кватерніоном (у цьому випадку підрозділ гіперкомплексного аналізу називається кватерніонний аналіз). Другий приклад включає функції від моторної змінної, де аргументами є спліт-комплексні числа.

У математичній фізиці існують гіперкомплексні системи, які називаються алгебри Кліффорда. Дослідження функцій з аргументами з алгебр Кліффорда називається аналіз Кліффорда.

Матриця може вважатися гіперкомплексним числом. Наприклад, дослідження функцій від ${\displaystyle 2\times 2}$ дійсних матриць показує, що топологія простору гіперкомплексних чисел визначає теорію функцій. Функції, такі як квадратний корінь з матриці, матриця експоненційна та логарифм матриці, є базовими прикладами гіперкомплексного аналізу.

Теорія функцій діагоналізованих матриць є особливо прозорою, оскільки вони мають власні розкладення (eigendecompositions). Припустимо, що

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}E_{i},}$

де ${\displaystyle E_{i}}$ є проекціями.

Тоді для будь-якого полінома ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(T)=\sum _{i=1}^{N}f(\lambda _{i})E_{i}.}$

Сучасна термінологія для системи гіперкомплексних чисел — це алгебра над дійсними числами, а алгебри, які використовуються в застосуваннях, часто є алгебрами Банаха, оскільки ряди Коші можна вважати збіжними. Тоді теорія функцій збагачується послідовностями та рядами. У цьому контексті розширення голоморфних функцій змінної розвивається як голоморфне функціональне числення. Гіперкомплексний аналіз на алгебрах Банаха називається функціональним аналізом.

• Джованні Баттіста Ріцца^[en]

1. Фелікс Гантмахер (1959) Теорія матриць, два томи, перекладач: Курт Гірш, Видавництво Челсі, глава 5: функції матриць, глава 8: корені та логарифми матриць.
2. Шо, Рональд (1982) Лінійна алгебра та представлення груп, т. 1, § 2.3, Діагоналізовані лінійні оператори, сторінки 78–81, Видавництво Академік Прес, ISBN 0-12-639201-3.

• Даніель Алпай (ред.) (2006) Вейвлети, Мульти-масштабні системи та Гіперкомплексний аналіз, Видавництво Шпрінгер, ISBN 9783764375881.
• Енріке Рамірес де Арельяннон (1998) Операторна теорія для комплексного та гіперкомплексного аналізу, Американське математичне товариство (Матеріали конференції з зустрічі в Мехіко в грудні 1994).
• Дж. А. Емануелло (2015) Аналіз функцій розщеплених комплексних, мультикомплексних і розщеплених кватерніонних змінних та їх пов'язані конформні геометрії, докторська дисертація, Університет штату Флорида.
• Сорін Д. Гал (2004) Вступ до теорії геометричних функцій гіперкомплексних змінних, Видавництво Nova Science, ISBN 1-59033-398-5.
• Р. Лавіка & А.Г. О'Фаррелл & І. Шорт (2007) "Оборотні перетворення у групі кватерніонних перетворень Мебіуса", Математичні матеріали Кембриджського філософського товариства 143:57–69.
• Ірен Сабадіні та Франціскус Соммен (ред.) (2011) Гіперкомплексний аналіз та його застосування, Видавництво Беркгаузер.
• Ірен Сабадіні & Майкл В. Шапіро & Ф. Соммен (ред.) (2009) Гіперкомплексний аналіз, Видавництво Беркгаузер, ISBN 978-3-7643-9892-7.
• Сабадіні, Соммен, Струппа (ред.) (2012) Досягнення в галузі гіперкомплексного аналізу, Видавництво Шпрінгер.