Гіпотези Вейля — Вікіпедія
Гіпотези Вейля - математичні гіпотези про локальні дзета-функції проєктивних многовидів над скінченними полями.
Гіпотези Вейля стверджують, що локальні дзета-функції мають бути раціональними, задовольняти функціональному рівнянню, а їх нулі лежати на критичних прямих. Останні 2 гіпотези аналогічні гіпотезі Рімана для дзета-функції Рімана.
Гіпотези в загальному вигляді сформулював Андре Вейль 1949 року, раціональність довів Бернард Дворк[en] 1960 року, функціональне рівняння — Олександр Гротендік 1965 року, аналог гіпотези Рімана — П'єр Делінь 1974 року[1].
Нехай — неособливий -вимірний проєктивний алгебричний многовид над скінченним полем . Його конгруенц-дзета-функція визначається як
де — число точок над -вимірним розширенням поля . Локальна дзета-функція .
Гіпотези Вейля стверджують таке:
1. (Раціональність) є раціональною функцією . Точніше, можна подати у вигляді скінченного добутку
де кожен — многочлен з цілими коефіцієнтами. Причому , а для всіх над , а — деякі цілі алгебричні числа.
2. (Функціональне рівняння і двоїстість Пуанкаре) Дзета-функція задовольняє співвідношенню
або, еквівалентно,
де — ейлерова характеристика (індекс самоперетину діагоналі в ).
3. (Гіпотеза Рімана) для всіх . Звідси випливає, що всі нулі лежать на «критичній прямій» .
4. (Числа Бетті) Якщо є хорошою редукцією за модулем неособливого проєктивного многовиду , визначеного над деяким числовим полем, вкладеним у поле комплексних чисел, то степінь , де — число Бетті простору комплексних точок .
- ↑ Deligne, Pierre. La Conjecture de Weil: I. — Publications Mathématiques de l'IHÉS[fr]. — Bures-sur-Yvette : Institut des hautes études scientifiques, 1974. — Vol. 43. — P. 273–307. — ISSN 0073-8301. — MR 340258 [Архівовано 3 листопада 2021 у Wayback Machine.]
- Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М. : Мир, 1981. — 597 с.