Еліпсоїд — Вікіпедія
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/ba/Gnuplot_ellipsoid.svg/220px-Gnuplot_ellipsoid.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fb/Ellipsoid_321.png/220px-Ellipsoid_321.png)
Еліпсоїд — замкнута центральна поверхня другого порядку.
Еліпсоїд має центр симетрії та три осі, які називаються осями еліпсоїда. Точки перетину координатних осей з еліпсоїдом називаються його вершинами. Перетини еліпсоїда площинами є еліпсами (зокрема, завжди можна вказати кругові перетини еліпсоїда). В декартовій системі координат рівняння еліпсоїда має вигляд:
де a, b, c — додатні дійсні числа, що називаються півосями еліпсоїда. Оскільки сума трьох додатних доданків лівої частини рівняння дорівнює одиниці, то кожен з них (при дійсних значеннях координат) не може перевищувати одиниці:
Звідси випливає, що координати точок еліпсоїда задовольняють нерівність:
Отже, еліпсоїд - скінченна поверхня, яка цілком лежить всередині паралелепіпеда, розміри якого
Довільно орієнтований еліпсоїд, із центром у точці v, визначається розв'язками x рівняння
де A це додатноозначена матриця і x, v це вектори.
Власні вектори A визначають головні осі еліпсоїда, а власні значення A це обернені квадрати півосей: , і [1]. Для інтуїтивного розуміння цієї формули достатньо уявити матрицю як .
По суті, еліпсоїди це одиничні кулі піддані афінному перетворенню. Щоб побачити це згадаємо важливий факт щодо додатноозначеної матриці , існує матриця така, що . Позначимо еліпсоїд як . Розглянемо бієктивне афінне перетворення . Воно відображає еліпсоїд в одиничну кулю: .
Об'єм |
---|
- ↑ Stephen Boyd Lecture 15. Symmetric matrices, quadratic forms, matrix norm, and SVD [Архівовано 26 червня 2013 у Wayback Machine.]. (англ.)
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
- Еліпсоїд // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.
- Еліпсоїд // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 156-157. — 594 с.