Когомології де Рама — теорія когомологій , визначених за допомогою диференціальних форм на гладких многовидах . Завдяки відносній простоті обчислень широко застосовуються в алгебраїчній і диференціальній топології , а також диференціальній геометрії і математичному аналізі . Попри те, що вони визначаються за допомогою диференціальних структур на многовиді, згідно теореми де Рама когомології де Рама ізоморфні сингулярним когомологіям , які визначаються лише з урахуванням топологічної структури .
Нехай M — гладкий многовид розмірності n . Позначимо Ω k ( M ) {\displaystyle \Omega ^{k}(M)} — простір гладких диференціальних форм степеня k на многовиді M . В локальних координатах диференціальна форма ω ∈ Ω k ( M ) {\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(M)} записується у вигляді
ω = ∑ 1 ⩽ i 1 < i 2 < … < i k ⩽ n f i 1 i 2 … i k ( x 1 , … , x n ) d x i 1 ∧ d x i 2 ∧ … ∧ d x i k {\displaystyle \omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\,dx_{i_{1}}\wedge dx_{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}}
де f i 1 i 2 … i k {\displaystyle f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}} — гладкі функції d x i {\displaystyle dx_{i}} — диференціал i {\displaystyle i} -ї координати x i {\displaystyle x_{i}} , а ∧ {\displaystyle \wedge } — зовнішній добуток .
Для k > n всі диференціальні форми рівні нулю. Для 0 ⩽ k ⩽ n {\displaystyle 0\leqslant k\leqslant n} множина диференціальних форм є векторним простором розмірності C n k . {\displaystyle C_{n}^{k}.}
Для всіх 0 ⩽ k ⩽ n {\displaystyle 0\leqslant k\leqslant n} природно визначається оператор d : Ω k ( M ) → Ω k + 1 ( M ) {\displaystyle d:\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k+1}(M)} , що називається зовнішньою похідною і в локальних координатах для ω ∈ Ω k ( M ) {\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(M)} можна записати за допомогою формули:
d ω = ∑ 1 ⩽ i 1 < i 2 < … < i k ⩽ n ∑ 1 ⩽ j ⩽ n ∂ f i 1 i 2 … i k ∂ x j ( x 1 , … , x n ) d x j ∧ d x i 1 ∧ d x i 2 ∧ … ∧ d x i k . {\displaystyle d\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}\sum _{1\leqslant j\leqslant n}{\frac {\partial f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}}{\partial x^{j}}}(x_{1},\;\dots ,\;x_{n})\,dx_{j}\wedge dx_{i_{1}}\wedge dx_{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}.} З запису в локальних координатах одразу отримується рівність d ( d ω ) = 0 {\displaystyle d(d\omega )=0} для всіх диференціальних форм або d ∘ d = 0. {\displaystyle d\circ d=0.}
З використанням введених вище позначень можна розглянути комплекс де Рама — коланцюговий комплекс визначений як:
0 → Ω 0 ( M ) → d Ω 1 ( M ) → d Ω 2 ( M ) → d Ω 3 ( M ) → ⋯ . {\displaystyle 0\to \Omega ^{0}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{1}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{2}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\to \cdots .} З того, що d ∘ d = 0 {\displaystyle d\circ d=0} випливає що I m d ⊂ K e r d . {\displaystyle \mathrm {Im} d\subset \mathrm {Ker} d.}
Диференціальна форма ω ∈ Ω k ( M ) {\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(M)} називається замкнутою , якщо d ω = 0. {\displaystyle d\omega =0.} Простір замкнутих k-форм на многовиді M позначається Z k ( M ) . {\displaystyle Z^{k}(M).}
Диференціальна форма ω ∈ Ω k ( M ) {\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(M)} називається точною , якщо існує диференціальна форма ω ¯ ∈ Ω k − 1 ( M ) , {\displaystyle {\bar {\omega }}\in \Omega ^{k-1}(M),} така, що ω = d ω ¯ . {\displaystyle \omega =d{\bar {\omega }}.} Простір точних k-форм на многовиді M позначається B k ( M ) . {\displaystyle B^{k}(M).}
Множини Z k ( M ) {\displaystyle Z^{k}(M)} і B k ( M ) {\displaystyle B^{k}(M)} є дійсними векторними просторами і до того ж з включення I m d ⊂ K e r d . {\displaystyle \mathrm {Im} d\subset \mathrm {Ker} d.} випливає, що простір точних форм є підпростором простору замкнутих форм.
Тому можна визначити фактор-простір
H d R k ( M ) = Z k ( M ) / B k ( M ) . {\displaystyle H_{dR}^{k}(M)\ =\ Z^{k}(M)\,/\,B^{k}(M).} H d R k ( M ) {\displaystyle H_{dR}^{k}(M)} називається когомологічною групою де Рама порядку k .
Дві замкнуті форми ω 1 , ω 2 ∈ Z k ( M ) {\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in Z^{k}(M)} належать одному класу еквівалентності [ ω ] ∈ H d R k ( M ) {\displaystyle [\omega ]\in H_{dR}^{k}(M)} тоді й лише тоді , коли їх різниця є точною диференціальною формою: ω 1 − ω 2 ∈ B k ( M ) . {\displaystyle \omega _{1}-\omega _{2}\in B^{k}(M).}
Розмірність простору H d R k ( M ) {\displaystyle H_{dR}^{k}(M)} , якщо вона є скінченною (це справедливо зокрема для когомологічних груп довільного порядку для компактних многовидів) називається k -м числом Бетті.
Нижче подані значення когомологій де Рама для деяких простих і важливих многовидів.
Значення H d R 0 ( M ) {\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{0}(M)} [ ред. | ред. код ] Для довільного многовиду з n компонентами зв'язності справедливе твердження:
H d R 0 ( M ) ≅ R n . {\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{0}(M)\cong \mathbf {R} ^{n}.} H d R k ( R n ) ≃ { R k = 0 , 0 k > 0. {\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(\mathbb {R} ^{n})\simeq {\begin{cases}\mathbb {R} &k=0,\\0&k>0.\end{cases}}} Для n -сфери , Sn , а також для її добутку з гіперкубом, можна легко обчислити когомології де Рама. Нехай n > 0, m ? 0 , і I — відкритий інтервал дійсних чисел . Тоді
H d R k ( S n × I m ) ≃ { R k = 0 , n , 0 k ≠ 0 , n . {\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(S^{n}\times I^{m})\simeq {\begin{cases}\mathbb {R} &k=0,n,\\0&k\neq 0,n.\end{cases}}} Для n > 0 когомології де Рама для n -тора рівні
H d R k ( T n ) ≃ R ( n k ) . {\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(T^{n})\simeq \mathbb {R} ^{n \choose k}.} Проколотий евклідів простір — евклідів простір з видаленим початком координат.
∀ n ∈ N , H d R k ( R n ∖ { 0 → } ) ≃ { R k = 0 , n − 1 0 k ≠ 0 , n − 1 ≃ H d R k ( S n − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\forall n\in \mathbb {N} ,H_{\mathrm {dR} }^{k}(\mathbb {R} ^{n}\setminus \{{\vec {0}}\})&\simeq {\begin{cases}\mathbb {R} &k=0,n-1\\0&k\neq 0,n-1\end{cases}}\\&\simeq H_{\mathrm {dR} }^{k}(S^{n-1})\end{aligned}}} Для стрічки Мебіуса :
H d R k ( M ) ≃ H d R k ( S 1 ) . {\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)\simeq H_{\mathrm {dR} }^{k}(S^{1}).} Розглянемо тепер многовид M з гладкою триангуляцією, тобто гомеоморфізмом h : [ K ] → M , {\displaystyle h:[K]\to M,} де [K ] — деякий симпліційний комплекс , так що для будь-якого симплекса s ∈ [ K ] {\displaystyle s\in [K]} для замикання симплекса [s ] існує окіл U , що містить [s ] і h ( U ) ⊂ M {\displaystyle h(U)\subset M} є гладким підмноговидом в M . Тоді M стає сингулярним комплексом і на ньому можна визначити коланцюговий комплекс (див. статтю Сингулярні гомології ):
0 → C 0 ( M , R ) → ∂ ∗ C 1 ( M , R ) → ∂ ∗ C 2 ( M , R ) → ∂ ∗ C 3 ( M , R ) → ⋯ . {\displaystyle 0\to C^{0}(M,\mathbb {R} ){\stackrel {\partial ^{*}}{\to }}\ C^{1}(M,\mathbb {R} )\ {\stackrel {\partial ^{*}}{\to }}\ C^{2}(M,\mathbb {R} )\ {\stackrel {\partial ^{*}}{\to }}\ C^{3}(M,\mathbb {R} )\to \cdots .} Елементами C k ( M , R ) {\displaystyle C^{k}(M,\mathbb {R} )} є лінійні функціонали на просторі формальних сум сингулярних симплексів розмірності k .
Як і для когомологій де Рама ∂ ∗ ∘ ∂ ∗ = 0 , {\displaystyle \partial ^{*}\circ \partial ^{*}=0,} а тому можна аналогічно ввести простори Z k ( M , R ) , B k ( M , R ) {\displaystyle Z^{k}(M,\mathbb {R} ),\,B^{k}(M,\mathbb {R} )} і H k s ( M , R ) = Z k ( M , R ) / B k ( M , R ) . {\displaystyle H^{k}{s}(M,\mathbb {R} )\ =\ Z^{k}(M,\mathbb {R} )\,/\,B^{k}(M,\mathbb {R} ).}
Останні простори називаються сингулярними когомологіями. На відміну від когомологій де Рама, визначення яких здійснено за допомогою диференційовної структури на многовиді, визначення сингулярних когомологій — суто топологічне. Попри це ці когомології є ізоморфними.
Ізоморфізм когомологій де Рама і сингулярних когомологій[ ред. | ред. код ] Нехай маємо многовид M з гладкою триангуляцією і з визначеними як вище когомологіями де Рама і сингулярною. Введемо тепер лінійне відображення ∫ : H d R k ( M ) → H k s ( M , R ) {\displaystyle \int :H_{dR}^{k}(M)\to H^{k}{s}(M,\mathbb {R} )} визначене для всіх гомологічних груп одного порядку. Для цього достатньо визначити гомоморфізми ∫ : Ω k ( M ) → C k ( M , R ) , {\displaystyle \int :\Omega ^{k}(M)\to C^{k}(M,\mathbb {R} ),} що задовольняють рівності ∂ ∗ ∘ ∫ = ∫ ∘ d . {\displaystyle \partial ^{*}\circ \int =\int \circ d.}
Дійсно тоді ∫ ( Z k ( M ) ) ⊂ Z k ( M , R ) {\displaystyle \int (Z^{k}(M))\subset Z^{k}(M,\mathbb {R} )} і ∫ ( B k ( M ) ) ⊂ B k ( M , R ) , {\displaystyle \int (B^{k}(M))\subset B^{k}(M,\mathbb {R} ),} тож гомоморфізм H d R k ( M ) → H k s ( M , R ) {\displaystyle H_{dR}^{k}(M)\to H^{k}{s}(M,\mathbb {R} )} буде коректно визначений.
Для диференціальної форми ω ∈ Ω k ( M ) {\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(M)} значенням ∫ ( ω ) {\displaystyle \int (\omega )} має бути лінійний функціонал на множині формальних сум орієнтовних сингулярних симплексів розмірності k . Зважаючи на властивості лінійності цей функціонал можна задати лише на базових орієнтовних сингулярних. З визначення триангуляції многовида кожен такий симплекс <s > є частиною деякого підмноговида в M . На цьому підмноговиді можна визначити звуження ω {\displaystyle \omega } і тоді прийняти:
∫ ( ω ) < s >= ∫ s ω . {\displaystyle \int (\omega )<s>=\int _{s}\omega .} Рівності ∂ ∗ ∘ ∫ = ∫ ∘ d {\displaystyle \partial ^{*}\circ \int =\int \circ d} при подібному визначенні є простими наслідками теореми Стокса.
Теорема де Рама стверджує, що відображення ∫ : H d R k ( M ) → H k s ( M , R ) {\displaystyle \int :H_{dR}^{k}(M)\to H^{k}{s}(M,\mathbb {R} )} визначене вище є ізоморфізмом між гомологіями де Рама і сингулярними гомологіями для всіх k .
Аналогічно як у випадку гладкого многовида для кожного алгебраїчного многовида X {\displaystyle X} над полем k {\displaystyle k} можна визначити комплекс регулярних диференціальних форм .
Групами когомологій де Рама многовида X {\displaystyle X} называються групи когомологій H d R p ( X / k ) {\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{p}(X/k)} .
Якщо X {\displaystyle X} є гладким і повним многовидом, а характеристика поля c h a r k = 0 {\displaystyle \mathrm {char} \,k=0} , то когомології де Рама є когомологіями Вейля. Якщо многовид X {\displaystyle X} є гладким афінним многовидом, а поле k = C {\displaystyle k=\mathbb {C} } , то справедливим є аналог теореми де Рама: H d R p ( X / k ) ≅ H p ( X a n , C ) , {\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{p}(X/k)\cong H^{p}(X_{an},\;\mathbb {C} ),} де X a n {\displaystyle X_{an}} — комплексний аналітичний многовид, що відповідає многовиду X {\displaystyle X} . Наприклад якщо X {\displaystyle X} — доповнення до алгебраїчної гіперповерхні в P n ( C ) {\displaystyle P^{n}(\mathbb {C} )} , то когомології H p ( X , C ) {\displaystyle H^{p}(X,\;\mathbb {C} )} можна обрахувати за допомогою раціональних диференціальних форм на P n ( C ) {\displaystyle P^{n}(\mathbb {C} )} с полюсами на цій гіперповерхні. Для будь-якого морфізму f : X → S {\displaystyle f\colon X\to S} можна визначити так званий відносний комплекс де Рама
∑ p ⩽ 0 Γ ( Ω X / S p ) , {\displaystyle \sum _{p\leqslant 0}\Gamma (\Omega _{X/S}^{p}),} і відповідні відносні когомології де Рама H d R p ( X / S ) {\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{p}(X/S)} .
У випадку якщо многовид X {\displaystyle X} є спектром кільця S p e c A {\displaystyle \mathrm {Spec} \,A} , а S = S p e c B {\displaystyle S=\mathrm {Spec} \,B} , то відносний комплекс де Рама рівний Λ Ω A / B 1 {\displaystyle \Lambda \Omega _{A/B}^{1}} .
Когомології H d R p ( X / S ) {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\mathrm {dR} }^{p}(X/S)} комплексу пучків ∑ p ⩽ 0 f ∗ Ω X / S p {\displaystyle \sum _{p\leqslant 0}f_{*}\Omega _{X/S}^{p}} на S {\displaystyle S} називаються пучками відносних когомологій де Рама . Якщо f {\displaystyle f} — власний морфізм, то ці пучки когерентні на S {\displaystyle S} .
Bredon, Glen E. (1993). Topology and Geometry . Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3 . Madsen, I. H.; Tornehave, J (1997). From Calculus to Cohomology: De Rham Cohomology and Characteristic Classes . Cambridge University Press. ISBN 978-0521580595 . Singer, I. M.; Thorpe, J. A. (1976). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry . ISBN 978-0-387-90202-9 .