Мартинга́л в теорії ймовірностей — це випадковий процес , математичне сподівання якого в майбутній час рівне значенню процесу в цей час. Теорія мартингалів є одним з основних розділів сучасної теорії ймовірностей і має широке застосування у стохастичному моделюванні, зокрема у сфері фінансів.
Послідовність випадкових величин { X n } n ∈ N {\displaystyle \{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} називається мартинга́лом з дискретним часом , якщо виконуються умови E | X n | < ∞ , n ∈ N {\displaystyle {\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N} } ; E [ X n + 1 ∣ X 1 , … , X n ] = X n , n ∈ N {\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}]=X_{n},\quad n\in \mathbb {N} } . Нехай задана також інша послідовність мартингалів { Y n } n ∈ N {\displaystyle \{Y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} . Тоді послідовність випадкових величин { X n } n ∈ N {\displaystyle \{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} називається мартингалом відносно { Y n } {\displaystyle \{Y_{n}\}\,\!} або { Y n } {\displaystyle \{Y_{n}\}\,\!} -мартингалом, якщо E | X n | < ∞ , n ∈ N {\displaystyle {\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N} } ; E [ X n + 1 ∣ Y 1 , … , Y n ] = X n , n ∈ N {\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid Y_{1},\ldots ,Y_{n}]=X_{n},\quad n\in \mathbb {N} } . Найбільш загально нехай ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} — ймовірнісний простір і { F n } n ∈ N {\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} задана на ньому фільтрація. Тоді послідовність випадкових величин { X n } n ∈ N {\displaystyle \{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} називається мартингалом, якщо виконуються умови: Процес { X n } n ∈ N {\displaystyle \{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} є узгодженим з фільтрацією { F n } n ∈ N {\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{n}\}_{n\in N}} . E | X n | < ∞ , n ∈ N {\displaystyle {\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N} } ; E [ X n + 1 ∣ F n ] = X n , n ∈ N {\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid {\mathcal {F}}_{n}]=X_{n},\quad n\in \mathbb {N} } . Виконуються також і загальніші властивості. Якщо m < n тоді:
E [ X n ∣ F m ] = X m {\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{n}\mid {\mathcal {F}}_{m}]=X_{m}} . Нехай задано ймовірнісний простір ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} з заданою на ньому фільтрацією { F t } t ∈ T {\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}} , де T ⊂ R {\displaystyle T\subset \mathbb {R} } . Тоді випадковий процес { X t } t ∈ T {\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}} називається мартингалом відносно { F t } {\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}} , якщо
X t {\displaystyle X_{t}\,} вимірна відносно F t {\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}} для довільного t ∈ T {\displaystyle t\in T} . E | X t | < ∞ , t ∈ T {\displaystyle {\mathsf {E}}|X_{t}|<\infty ,\quad t\in T} . E [ X t ∣ F s ] = X s , ∀ s , t ∈ T , s ≤ t {\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{t}\mid {\mathcal {F}}_{s}]=X_{s},\quad \forall s,t\in T,\;s\leq t} . Якщо як { F t } {\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}} взята природна фільтрація F t = σ { X s ∣ s ≤ t } {\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\sigma \{X_{s}\mid s\leq t\}} , то { X t } {\displaystyle \{X_{t}\}\,\!} називається просто мартингалом.
Нехай задана послідовність випадкових величин { Y n } n ∈ N {\displaystyle \{Y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} . Тоді послідовність випадкових величин { X n } n ∈ N {\displaystyle \{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} називається су́б(су́пер)мартингалом відносно { Y n } {\displaystyle \{Y_{n}\}\,\!} , якщо E | X n | < ∞ , n ∈ N ; {\displaystyle {\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N} ;} E [ X n + 1 ∣ Y 1 , … , Y n ] ≥ ( ≤ ) X n , n ∈ N . {\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\geq (\leq )X_{n},\quad n\in \mathbb {N} .} Випадковий процес { X t } t ∈ T , T ⊂ R {\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T},\;T\subset \mathbb {R} } називається суб(супер)мартингалом відносно { F t } {\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}} , якщо X t {\displaystyle X_{t}\,\!} вимірна відносно F t {\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}} для довільного t ∈ T {\displaystyle t\in T} . E | X t | < ∞ , t ∈ T {\displaystyle {\mathsf {E}}|X_{t}|<\infty ,\quad t\in T} . E [ X t ∣ F s ] ≥ ( ≤ ) X s , ∀ s , t ∈ T , s ≤ t {\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{t}\mid {\mathcal {F}}_{s}]\geq (\leq )X_{s},\quad \forall s,t\in T,\;s\leq t} . Якщо як { F t } {\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}} взята природна фільтрація F t = σ { X s ∣ s ≤ t } {\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\sigma \{X_{s}\mid s\leq t\}} , то { X t } {\displaystyle \{X_{t}\}\,\!} називається просто суб(супер)мартингалом.
Якщо { X t } {\displaystyle \{X_{t}\}\,\!} — мартингал, то E X t = c o n s t {\displaystyle {\mathsf {E}}X_{t}=\mathrm {const} } . Якщо { X t } {\displaystyle \{X_{t}\}\,\!} — субмартингал, то { − X t } {\displaystyle \{-X_{t}\}\,\!} — супермартингал. Якщо { X t } {\displaystyle \{X_{t}\}\,\!} є мартингалом, а f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } — опукла функція , то { f ( X t ) } {\displaystyle \{f(X_{t})\}\,\!} — субмартингал. Якщо f {\displaystyle f\,\!} — вгнута функція , то { f ( X t ) } {\displaystyle \{f(X_{t})\}\,\!} — супермартингал. Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика . — Київ : ВПЦ Київський університет , 2007. — 504 с. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей . — 6-е изд. — Москва : Наука , 1988. — 446 с.(рос.) Гихман И. И. , Скороход А. В. , Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика . — Київ : Вища школа , 1988. — 436 с.(рос.) Гихман И. И. , Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов . — 2-е. — Москва : Наука , 1977. — 567 с.(рос.) G. Grimmett and D. Stirzaker, Probability and Random Processes, 3rd edition, Oxford University Press , 2001, ISBN 0-19-857223-9 David Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press , 1991, ISBN 0-521-40605-6 Ігри
Місця проведення
Наука
Пов'язані поняття Термінологія
Інструменти
Регулятори Різне