Модель Ізінга — Вікіпедія
Статистична фізика |
---|
Термодинаміка Кінетична теорія |
Статистики |
Ансамблі |
Моделі |
Модель Ізінга — модель статистичної системи, в якій можуть спостерігатися фазові переходи.
В моделі Ізінга «частинки» розташовані у вузлах регулярної ґратки і можуть перебувати в одному з двох станів. Кожну з них можна описати параметром, який умовно називають «спіном» і позначають S. Спін має значення +1 в одному з станів, і значення −1 в іншому. Частинки у різних вузлах ґратки взаємодіють між собою, причому енергія цієї взаємодії залежить від взаємної орієнтації «спінів». Повна енергія системи записується у вигляді:
Зазвичай при розгляді моделі Ізінга обмежуються найближчими сусідами, тому енергію можна записати, як
- .
При додатних значеннях параметра J найменшу енергію має стан із паралельними спінами — усі спіни однинакові. Цей стан аналогічний феромагнітному.
При J < 0 найменшу енергію має антиферомагнітний стан з чергуванням спінів +1 та −1.
Ймовірність реалізації кожного конкретного розподілу визначається його енергією і температурою.
- ,
де P — ймовірність, T — температура, а — стала Больцмана.
При малій температурі ймовірність реалізації стану з найнижчою енергією найбільша, тобто система перебуватиме у впорядковому стані — феромагнітному або антиферомагнітному. При збільшенні температури ймовірності реалізації станів з різною енергією вирівнюються й більшу вагу має кількість різних мікростанів, які мають дану енергію, тобто ентропія. Ця кількість більша для невпорядкованих станів. При певній температурі можливий фазовий перехід.
Фазовий перехід можливий також в залежності від зовнішнього «магнітного поля». В такому полі енергія задається формулою
- ,
де h — напруженість поля. Таким чином можна досліджувати поведінку системи не лише в залежності від температури, а також в залежності від зовнішніх факторів.
Для двовимірної системи модель Ізінга має точний аналітичний розв'язок, отриманий Ларсом Онсагером.
Модель отримала свою назву від прізвища німецького вченого Ернста Ізінга. Ізінг досліджував одновимірний випадок і показав, що в цьому випадку фазового переходу не існує. Звідси він зробив неправильний висновок, що фазового переходу не існує в системі з довільним числом вимірів. Подальші дослідження показали, що фазовий перехід існує для нескінченної ґратки у двовимірному випадку і для будь-якого числа вимірів, більшого за двійку.
- Бэкстер Р. Точно решаемые модели в статистической механике. — М. : Мир, 1985. — 488 с.
- Сазерленд Б. Замечательные модели. — Ижевск : РХД, 2008. — 388 с.
- Цвелик А. М. Квантовая теория поля в физике конденсированного состояния. — М. : Физматлит, 2004. — 320 с.
- Stepanov I. A. Exact Solutions of the One-Dimensional, Two-Dimensional, and Three-Dimensional Ising Models. – Nano Science and Nano Technology: An Indian Journal. 2012. Vol. 6. No 3. 118 - 122. The paper is on the Journal’s website with a free access.
![]() | Це незавершена стаття з фізики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |