Обернена матриця — матриця (позначається
), яка існує для кожної невиродженої квадратної матриці
, розмірності
, причому:
![{\displaystyle \ AA^{-1}=A^{-1}A=I_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7334bb12c8e92f078fe786372a882b505e162954)
де
одинична
матриця.
Якщо для матриці
існує
, то така матриця називається оборотною, тобто кожна невироджена матриця є оборотною, і навпаки — кожна оборотна матриця є невиродженою.
— операція обернення є інволюцією.
— обернення транспонованої матриці
— обернення спряженої матриці
для довільного коефіцієнта ![{\displaystyle k\not =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac4265735efe729da481fa476c5927579d8b056e)
![{\displaystyle (\mathbf {AB} )^{-1}=\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} ^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f4900c81e2a3cf86a1f7eb3fb31fc2a4ee342f7)
— визначник оберненої матриці.
— ранг матриці дорівнює розміру матриці. - Власні вектори матриці та її оберненої — збігаються, а власні значення є оберненими.
- Якщо потрібно розв'язати систему лінійних рівнянь
, (b — ненульовий вектор) і
існує, тоді
. В протилежному випадку або розмірність простору розв'язків більше нуля, або їх немає зовсім.
- де
— союзна матриця.
...
![{\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det A}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cca2fbecb9e7947467305d2e6bdf0ce61c4a6f16)
Обернена матриця існує тоді і тільки тоді, коли
.
![{\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&k\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det A}}{\begin{bmatrix}ek-fh&ch-bk&bf-ce\\fg-dk&ak-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{aek+bfg+cdh-ceg-bdk-afh}}{\begin{bmatrix}ek-fh&ch-bk&bf-ce\\fg-dk&ak-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\\\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ca9c5591bf812d38b0c5cb3ad96a56e84586103)
Обернена матриця існує тоді і тільки тоді, коли
.