French
DeutschСемикутна мозаїка — Вікіпедія
| Семикутна мозаїка | |
|---|---|
 | |
| Тип | Гіперболічна правильна мозаїка[en] |
| Вершинна фігура | 73 |
| Символ Шлефлі | {7,3} |
| Символ Вітгоффа[en] | 7 2 |
| Діаграма Коксетера |     |
| Група симетрії | [7,3], (*732) |
| Двоїстий многогранник | Трикутна мозаїка порядку 7[en] |
| Властивості | вершинно-транзитивна, реберно-транзитивна, гране-транзитивна[en] |
Семикутна мозаїка — правильна мозаїка[en] на гіперболічній площині. Задається символом Шлефлі {7,3} і має три правильні семикутники в кожній вершині.
 Модель півплощини Пуанкаре |  Дискова модель Пуанкаре |  Модель Кляйна |
Ця мозаїка має топологічний зв'язок із правильними многогранниками як член послідовності правильних многогранників із символом Шлефлі {n,3}.Шаблон:Таблица семиугольных мозаик
| Сферичні | Евклідові | Компактні гіперболічні. | Параком- пактні. | Некомпактні гіперболічні. | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
 |  |  |  |  | |  |  |  |  |  |  |
| {2,3} | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞,3} | {12i,3} | {9i,3} | {6i,3} | {3i,3} |
З побудови Вітгоффа випливає, що існує вісім гіперболічних однорідних мозаїк[en], що ґрунтуються на правильній семикутній мозаїці.
Якщо розфарбувати в мозаїці червоним початкові грані, жовтим — початкові вершини, а синім — початкові ребра, маємо 8 форм.Шаблон:Таблица мозаик порядка 3
| Однорідні семикутні/трикутні мозаїки[en] | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Симетрія: [7,3], (*732)[en] | [7,3]+, (732) | |||||||||
| | | | | | | |  | |||
 |  |  |  |  |  |  |  | |||
| {7,3} | t{7,3}[en] | r{7,3}[en] | 2t{7,3}[en]=t{3,7} | 2r{7,3}[en]={3,7} | rr{7,3}[en] | tr{7,3}[en] | sr{7,3}[en] | |||
| Однорідні двоїсті мозаїки | ||||||||||
 | | | | | | |  | |||
| |  |  |  | |  |  |  | |||
| V73[en] | V3.14.14 | V3.7.3.7 | V6.6.7 | V37 | V3.4.7.4 | V4.6.14[en] | V3.3.3.3.7 | |||
Група симетрії мозаїки є групою трикутника (2,3,7)[ru], і фундаментальною областю для цієї дії є трикутник Шварца (2,3,7). Це найменший гіперболічний трикутник Шварца, а тому, за теоремою Гурвіца про автоморфізми[en], мозаїка є універсальною мозаїкою, що покриває всі поверхні Гурвіца (ріманові поверхні з максимальною групою симетрії), даючи мозаїку семикутниками, група симетрії якої дорівнює групі симметрії ріманової поверхні. Найменшою поверхнею Гурвіца є квартика Кляйна[en] (рід 3, група автоморфізму має порядок 168) і породжена мозаїка має 24 семикутники, які мають спільні 56 вершин.
Двоїста трикутна мозаїка порядку 7[en] має таку саму групу симетрії і задає триангуляції[en] поверхні Гурвіца.
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations // The Symmetries of Things. — 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5.
- H.S.M. Coxeter. Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space // The Beauty of Geometry: Twelve Essays. — Dover Publications, 1999. — ISBN 978-0486-40919-8.
- Weisstein, Eric W. Гіперболічна мозаїка(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Гіперболічний диск Пуанкаре(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Hyperbolic and Spherical Tiling Gallery
- KaleidoTile 3: Educational software to create spherical, planar and hyperbolic tilings
- Hyperbolic Planar Tessellations, Don Hatch