Теорема Кантора — Бернштейна — Шредера — Вікіпедія
Теорема Кантора — Бернштейна — Шредера | |
![]() | |
Названо на честь | Фелікс Бернштейн, Ернст Шредер і Георг Кантор |
---|---|
Досліджується в | теорія множин |
Твердження описує | ін'єкція |
Ким доведено | Ріхард Дедекінд і Фелікс Бернштейн |
Підтримується Вікіпроєктом | Вікіпедія:Проєкт:Математика |
![]() | |
![]() |
Теорема Кантора — Бернштейна (також теорема Кантора — Бернштейна — Шредера), стосується теорії множин та стверджує, що якщо в множині A елементів не менше, ніж в множині B (тобто, якщо в множині A існує підмножина, рівнопотужна множині B), а в множині B елементів не менше, ніж в множині A, то насправді елементів порівну, тобто існує бієкція (взаємно однозначна відповідність) між множинами A та B. Тобто: що якщо існують ін'єктивні відображення
і між множинами і , то існує бієкція . Іншими словами, потужності множин і збігаються:
Неформально, теорема стверджує наступне:
Із і , випливає, що = . В даних нерівностях і є кардинальними числами.
Нехай, без обмеження загальності, множини A та B не перетинаються. Для будь-яких a в A чи b в B, ми можемо сформувати унікальну двосторонню послідовність елементів, що поперемінно належать A та B, шляхом почергового застосування та йдучи вправо і та вліво (де вони визначені).
Для будь-якого конкретного a, ця послідовність може припинитися в точці, де чи не визначені або не закінчуватися, якщо вони всюди визначені.
Назвемо таку послідовність (та усі її елементи) A-стопор, якщо вона зупиняється на елементі з A, чи B-стопор якщо вона зупиняється на елементі з B. Інакше, назвемо її подвійно безмежною, якщо всі елементи різні чи циклічною, якщо вони повторюються.
У силу того, що та є ін'єктивними функціями, кожен елемент a в A та b в B буде зустрічатися лише в одній такій послідовності, оскільки якщо б елемент зустрічався в двох послідовностях, всі елементи зліва і справа повинні були б бути однакові в обох з них, за визначенням.
У силу вище сказаного описані послідовності формують розбиття об'єднання множин A і B. Для A-стопора функція є бієкцією між елементами множин A і B в цій послідовності. Для B-стопора функція є бієкцією між елементами множин B і A в цій послідовності. Для подвійно безмежної чи циклічної послідовності можна використати будь-яку з двох функцій.
Нехай
і
і
Тоді, для довільного візьмемо
Якщо x не лежить в C, тоді x повинен бути в g[B] (образі множини B під дією відображення g). І тоді існує g -1(x), і h коректно визначене взаємно однозначне відображення (бієкція).
Можна перевірити, що і є шукане взаємооднозначне відображення.
Зауважимо, що це визначення відображення h неконструктивне в тому сенсі, що не існує загального алгоритму визначення за скінченне число кроків для будь-яких заданих множин A, B і ін'єкцій f, g, чи лежить деякий елемент x множини A в множині C чи ні. Хоча для деяких окремих випадків, такий алгоритм існує.
Як це часто буває в математиці, назва цієї теореми не правильно відображає її історію. Традиційна назва "Шредера-Бернштейна" ґрунтується на двох доказах, опублікованих в 1898 році незалежно один від одного. Кантора часто додають до назви тому, що він вперше сформулював теорему в 1895 році, в той час як ім'я Шредера часто опускається, тому що його доведення виявилося помилковим, а ім'я математика, який вперше довів це не пов'язано з теоремою взагалі. Насправді, історія була більш складною:
- 1887 — Ріхард Дедекінд доводить теорему, але не публікує її.
- 1895 — Георг Кантор подає твердження теореми у своїй першій роботі з теорії множин.
- 1896 — Ернст Шредер оголосив про доведення теореми.
- 1897 — Фелікс Бернштейн, молодий студент подав своє доведення на семінарі Кантора.
- 1897 — Після візиту Бернштейна до Дедекінда, останній самостійно доводить теорему вдруге.
- 1898 — Доведення Бернштейна публікує Еміль Борель у своїй книзі про функції.
Обидва доведення Дедекінда обґрунтовуються в його науковій статті "Was sind und was sollen die Zahlen?".
- Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.[недоступне посилання з травня 2019]
- Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб.: «Лань», 2004. — 336 с.
![]() | Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |