Теорема Ріса (також теорема Ріса-Фреше) у функціональному аналізі стверджує, що кожен лінійний обмежений функціонал у гільбертовому просторі може бути представлений через скалярний добуток за допомогою деякого елементу.
Нехай маємо:
Гільбертів простір H Лінійний обмежений функціонал f ∈ H ′ {\displaystyle f\in H'} у просторі H {\displaystyle H} Тоді існує єдиний елемент y {\displaystyle y} простору H {\displaystyle H} такий, що для довільного x ∈ H {\displaystyle x\in H} виконується f ( x ) = ⟨ y , x ⟩ {\displaystyle f(x)=\langle y,x\rangle } .
Також виконується рівність
‖ y ‖ = ‖ f ‖ {\displaystyle \|y\|=\|f\|} ker ( f ) {\displaystyle \ker(f)} ядро лінійного функціоналу є векторним підпростором H {\displaystyle H} .
Якщо f ≡ 0 {\displaystyle f\equiv 0} , достатньо взяти y = 0 {\displaystyle y=0} .
Якщо ж f ≠ 0 {\displaystyle f\neq 0} , тоді ker ( f ) ≠ H {\displaystyle \ker(f)\neq H} . Відповідно можна знайти елемент b ∈ ker ( f ) ⊥ ∖ { 0 } {\displaystyle b\in \ker(f)^{\bot }\smallsetminus {\big \{}0{\big \}}} ,
∀ x ∈ H {\displaystyle \forall x\in H} , позначимо p x = x − f ( x ) f ( b ) b {\displaystyle p_{x}=x-{\tfrac {f(x)}{f(b)}}b} . Оскільки очевидно p x ∈ ker ( f ) {\displaystyle p_{x}\in \ker(f)} маємо за означенням b , що ⟨ b , p x ⟩ = 0 {\displaystyle \langle b,p_{x}\rangle =0} . З лінійності скалярного добутку отримуємо:
⟨ b , x − f ( x ) f ( b ) b ⟩ = 0 = ⟨ b , x ⟩ − f ( x ) f ( b ) ‖ b ‖ 2 {\displaystyle \left\langle b,x-{f(x) \over f(b)}b\right\rangle =0=\langle b,x\rangle -{f(x) \over f(b)}\|b\|^{2}} Звідси f ( x ) = ⟨ b , x ⟩ f ( b ) ‖ b ‖ 2 {\displaystyle f(x)=\langle b,x\rangle {\tfrac {f(b)}{\|b\|^{2}}}} .
Нарешті
f ( x ) = ⟨ y , x ⟩ {\displaystyle f(x)=\langle y,x\rangle } де позначено y = f ( b ) ‖ b ‖ 2 b {\displaystyle y={\tfrac {f(b)}{\|b\|^{2}}}b} .
Припустимо y {\displaystyle y} і z {\displaystyle z} елементи H {\displaystyle H} Що задовольняють f ( x ) = ⟨ y , x ⟩ = ⟨ z , x ⟩ {\displaystyle f(x)=\langle y,x\rangle =\langle z,x\rangle } .
Для всіх x ∈ H {\displaystyle x\in H} справджується ⟨ y − z , x ⟩ = 0 {\displaystyle \langle y-z,x\rangle =0} зокрема ⟨ y − z , y − z ⟩ = ‖ y − z ‖ 2 = 0 {\displaystyle \langle y-z,y-z\rangle =\|y-z\|^{2}=0} звідки й отримується рівність y = z {\displaystyle y=z} .
Для доведення ‖ y ‖ = ‖ f ‖ {\displaystyle \|y\|=\|f\|} спершу з нерівності Коші-Буняковського маємо: f ( x ) = ⟨ y , x ⟩ ≤ ‖ y ‖ ‖ x ‖ {\displaystyle f(x)=\langle y,x\rangle \leq \|y\|\|x\|} . Звідси згідно з визначенням норми функціоналу маємо: ‖ f ‖ ≤ ‖ y ‖ . {\displaystyle \|f\|\leq \|y\|.} З іншого боку f ( y ) = ⟨ y , y ⟩ ≤ ‖ y ‖ ‖ f ‖ {\displaystyle f(y)=\langle y,y\rangle \leq \|y\|\|f\|} звідки ‖ y ‖ ≤ ‖ f ‖ {\displaystyle \|y\|\leq \|f\|} . Поєднуючи дві нерівності одержуємо ‖ y ‖ = ‖ f ‖ {\displaystyle \|y\|=\|f\|}
Простори
Теореми Оператори Алгебри Проблеми Застосування Узагальнення