Тотожність (в математиці) — рівність двох виразів, яка виконується на всій множині значень змінних (рівність, що виконується для будь-яких значень змінної), наприклад,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
тощо.
Рівність має місце не для будь-якого значення , а тільки при . Така рівність не є тотожністю; вона називається рівнянням. Тотожністю називають також рівність, що не містить змінних; наприклад: .
Тотожність часто позначається символом «≡»
- Квадрат суми (різниці): справедлива рівності для будь яких .
- Різниця квадратів: справедлива рівність для будь яких .
- Куб суми (різниці): справедлива рівність для будь яких .
- Сума (різниця) кубів: справедлива рівність для будь яких .
- Многочлени справедлива рівність для будь яких .[1]
Пропорція є тотожність при всіх значеннях , крім , оскільки при знаменники дробів перетворюються в нуль, тобто дроби не мають змісту. Заміна виразу виразом (скоротили на ) є тотожнім перетворенням виразу при обмеженнях: .Отже, = — тотожність при всіх значеннях змінних, крім [2].
Для будь яких і додатних справедливі рівності:
; ; ; ; ; ; .
Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів; логарифм частки дорівнює різниці логарифмів. Логарифм степеня дорівнює добутку показника степеня p на логарифм самого числа х; логарифм кореня p-го степеня з числа х — логарифм числа, поділений на p.[3] У наступній таблиці перелічені ці тотожності з прикладами. Дані логарифмічні тотожності виконуються за умови, що , .
| Формула | Приклад |
добуток | | |
частка | | |
степінь | | |
корінь | | |
З означення логарифма випливає, що при виконується рівність . ЇЇ називають основною логарифмічною тотожністю.[4]
Прологарифмуємо за основою , де , обидві частини основної логарифмічної тотожності . Отримаємо: — формула переходу від логарифма з основою до логарифма з основою [5].
Гіперболічні функції задовольняють безліч тотожностей, всі вони подібні за формою до тригонометричних тотожностей. Правило Осборна[6] зазначає, що можна перетворити будь-яку тригонометричну тотожність у гіперболічну тотожність, розширивши її повністю. Функція Гудермана зв'язує тригонометричні функції і гіперболічні функції без залучення комплексних чисел.
- Парність:
- Формули додавання:
- .