Фактор-група — Вікіпедія

Алгебрична структура → Теорія груп Теорія груп
Основні поняття Підгрупа Нормальна підгрупа Комутант Фактор-група Гомоморфізм груп (Напів-)прямий добуток Пряма сума[en]
Алгебричні властивості Комутативна група Циклічна група Впорядкована група Група перетворень Розв'язна група
Скінченні групи Класифікація простих скінченних груп Скінченна циклічна група Cp Скінченна p-група Теорема Лагранжа Теореми Силова Симетрична група Sn Діедрична група Dn Знакозмінна група An 4-група Кляйна PSL(2,7) Групи Матьє M11 M12 M22 M23 M24 Групи Конвея Co1 Co2 Co3 Групи Янко J1 J2 J3 J4 Групи Фішера F22 F23 F24 Група чорної скриньки Монстр (М)
Топологічні групи Група Лі Загальна лінійна група GL(n) Спеціальна лінійна група SL(n) Ортогональна група O(n) Спеціальна ортогональна група SO(n) Унітарна група U(n) Спеціальна унітарна група SU(n) Симплектична група Sp(n) Прості Групи Лі G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ U(1) Група Лоренца Група Пуанкаре Група кватерніона
п о р

Фактор-група^[1] — в теорії груп, група класів еквівалентності відносно деякого відношення еквівалентності. Тобто, фактор-множина, що має властивості групи.

Нехай ${\displaystyle G}$ — група, і ${\displaystyle H}$ — її нормальна підгрупа, тобто для довільного ${\displaystyle a\in G}$ його класи суміжності збігаються:

${\displaystyle \ aH=Ha}$

Тоді на класах суміжності ${\displaystyle H}$ в ${\displaystyle G}$ можна ввести множення:

${\displaystyle \ (aH)(bH)=abH}$

Легко перевірити, що це множення не залежить від вибору елементів у класах суміжності, тобто якщо ${\displaystyle aH=a'H}$ і ${\displaystyle bH=b'H}$, то ${\displaystyle abH=a'b'H}$. Воно визначає структуру групи на множині класів суміжності, а одержана група називається фактор-групою ${\displaystyle G}$ по ${\displaystyle H}$.

Фактор-група позначається ${\displaystyle G/H}$.

• Теорема про гомоморфізм: Для довільного гомоморфізму ${\displaystyle \varphi :G\to K}$

${\displaystyle G/{\mathrm {K} er}\,\varphi \cong \varphi (G)}$,

тобто фактор-група ${\displaystyle G}$ за ядром ${\displaystyle {\mathrm {K} er}\varphi }$ ізоморфна її образу ${\displaystyle \varphi (G)}$ в ${\displaystyle K}$.

• Відображення ${\displaystyle a\mapsto aH}$ задає природний гомоморфізм ${\displaystyle G\to G/H}$.
• Порядок ${\displaystyle G/H}$ рівний індексу підгрупи ${\displaystyle [G:H]}$. У випадку скінченної групи ${\displaystyle G}$ він рівний ${\displaystyle |G|/|H|}$.
• Якщо ${\displaystyle G}$ абелева, нільпотентна, циклічна або скінченнопороджена, то і ${\displaystyle G/H}$ буде мати такі ж властивості.
• ${\displaystyle G/G}$ ізоморфна тривіальній групі (${\displaystyle \{e\}}$), ${\displaystyle G/{e}}$ ізоморфна ${\displaystyle G}$.

• Нехай ${\displaystyle G=\mathbb {Z} ,\;H=2\mathbb {Z} }$, тоді ${\displaystyle G/H}$ ізоморфна ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$.
• Нехай ${\displaystyle G=\mathbf {UT} _{n}}$ група невироджених верхньотрикутних матриць, ${\displaystyle H=\mathbf {SUT} _{n}}$ група верхніх унітрикутних матриць, тоді ${\displaystyle G/H}$ ізоморфна групі діагональних матриць.

• Теорема про гомоморфізми
• Теореми про ізоморфізми
• Фактор-кільце
• Фактор-простір

Українською

• Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.
• Ганюшкін О. Г., Безущак О. О. Теорія груп: Навчальний посібник для студентів механіко–математичного факультету. — Київ : ВПЦ "Київський університет", 2005.
• Курдаченко Л. А., Кириченко В. В., Семко М. М. Вибрані розділи алгебри та теорії чисел. — Київ : Ін-т математики НАН України, 2005. — 208 с. — ISBN 966-337-036-X.

Іншими мовами

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)

• Джозеф Ротман^[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)

Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.

1. ↑ Термін у словниках. Архів оригіналу за 16 квітня 2021. Процитовано 4 квітня 2022.