Формула Гаусса — Бонне — Вікіпедія

Фо́рмула Га́усса — Бонне́ пов'язує Ейлерову характеристику області двовимірного многовида з кривиною Гаусса в цій області та геодезичною кривиною кривої, яка обмежує область.

Нехай ${\displaystyle \Omega }$ — компактний двовимірний орієнтований ріманів многовид із гладкою межею ${\displaystyle \partial \Omega }$. Позначимо через ${\displaystyle K}$ гаусову кривину ${\displaystyle \Omega }$ та через ${\displaystyle k_{g}}$ геодезичну кривину ${\displaystyle \partial \Omega }$. Тоді

${\displaystyle (1)\qquad \iint _{\Omega }Kd\sigma +\oint _{L}k_{g}ds=2\pi \chi (\Omega )}$

де ${\displaystyle \chi (\Omega )}$ — ейлерова характеристика ${\displaystyle \Omega }$.

Зокрема, якщо у ${\displaystyle \Omega }$ межа відсутня, отримуємо спрощений вираз

${\displaystyle \int \limits _{\Omega }K\;d\sigma =2\pi \chi (\Omega )}$

Якщо поверхня деформується, то її ейлерова характеристика не змінюється, в той час як гаусова кривина може змінюватися в кожній точці. Проте, згідно з формулою Гаусса — Бонне, інтеграл гаусової кривини залишається не змінним.

Область ${\displaystyle \Omega }$ обмежена. Але вона може бути доволі складною, мати одну або кілька компонент зв'язності:

${\displaystyle (2)\qquad \Omega =\Omega _{1}+\Omega _{2}+\dots }$

Очевидно, що при цьому перший інтеграл в формулі (1) розбивається на суму інтегралів по компонентах.

Кожна з цих компонент ${\displaystyle \Omega _{i}}$ в свою чергу може бути топологічно складною.

Зокрема область ${\displaystyle \Omega }$ може повністю покривати замкнутий многовид (наприклад сферу, тор, …) і не мати межі зовсім — тоді другого інтеграла в формулі (1) не буде:

${\displaystyle (3)\qquad \iint _{\Omega }Kd\sigma =2\pi \chi (\Omega )}$

В інших випадках межа ${\displaystyle L_{i}}$ області ${\displaystyle \Omega _{i}}$ може складатися з одного контуру (наприклад якщо область гомеоморфна кругу), або більшої кількості контурів ${\displaystyle L_{ij}}$ (наприклад якщо область є кільцем між двома концентричними колами):

${\displaystyle (4)\qquad L_{i}=\sum _{j}L_{ij}}$

В цих випадках інтеграл по межі ${\displaystyle L}$ також розбивається на суму інтегралів по ${\displaystyle L_{ij}}$.

Буквою ${\displaystyle K}$ під першим інтегралом (1) позначено кривиною Гаусса другого степеня, яка для двовимірного многовида дорівнює половині скалярної кривини:

${\displaystyle (5)\qquad K=K^{[2]}={R \over 2}}$

Геодезична кривина ${\displaystyle \mathbf {k} _{g}}$ кривої взагалі кажучи є вектором, ортогональним до одиничного дотичного вектора ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={d\mathbf {r} \over ds}}$, і який лежить у многовиді. Але в формулі (1) через ${\displaystyle k_{g}}$ позначено скалярну величину — проєкцію вектора геодезичної кривини на напрям нормалі, напрямленої всередину області ${\displaystyle \Omega }$.

Запишемо вищесказане математично. Компоненти вектора геодезичної кривини обчислюються через тензорну похідну одиничного дотичного вектора ${\displaystyle \tau ^{i}}$ по натуральному параметру кривої:

${\displaystyle (6)\qquad k_{g}^{i}={D\tau ^{i} \over Ds}={d\tau ^{i} \over ds}+\Gamma _{jk}^{i}\tau ^{j}\tau ^{k}}$

Нормаль до вектора ${\displaystyle \tau ^{i}}$ можна утворити дією одиничного антисиметричного тензора ${\displaystyle \varepsilon ^{ij}}$, а тому (при належному виборі напрямку обходу контуру):

${\displaystyle (7)\qquad k_{g}^{i}=k_{g}\varepsilon ^{ij}\tau _{j}}$

Коефіцієнт ${\displaystyle k_{g}}$ в правій частині формули (7) той самий, який стоїть під другим інтегралом в формулі (1).

В попередньому підпункті ми розглядали гладкий контур ${\displaystyle L}$. Але неважко, використовуючи граничний перехід, узагальнити формулу (1) для кусково-гладкої межі яка складається з гладких дуг, що сходяться під деяким кутом між собою (дивіться наприклад статтю Геодезичний трикутник).

Якщо в точці зламу ${\displaystyle P_{i}}$ дотичний вектор ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ розвертається на кут ${\displaystyle \phi _{i}}$ в сторону області ${\displaystyle \Omega }$ (може бути додатне чи від'ємне число) то формула (1) узагальнюється до такої:

${\displaystyle (8)\qquad \iint _{\Omega }Kd\sigma +\oint _{L}k_{g}ds+\sum _{i}\phi _{i}=2\pi \chi (\Omega )}$

В цій формулі другий інтеграл береться по гладких ділянках дуг межі ${\displaystyle L}$.

Для виводу формули (8) область ${\displaystyle \Omega }$, яка має злами на межі, треба апроксимувати областю ${\displaystyle {\tilde {\Omega }}}$, яка має згладжені кути. Потім радіус закруглення на кутах спрямовуємо до нуля.

Обмежену двовимірну область ${\displaystyle \Omega }$ можна розбити лініями на кілька менших підобластей ${\displaystyle \Omega _{1},\,\Omega _{2},\dots }$, гомеоморфних кругу. Лінії в свою чергу можна поділити точками на дуги, гомеоморфні відрізку. Якщо позначити кількість точок буквою ${\displaystyle B}$ (вершини графу), кількість дуг буквою ${\displaystyle P}$ (ребра графу), а кількість підобластей буквою ${\displaystyle \Gamma }$ (грані), то наступне ціле число:

${\displaystyle (9)\qquad \chi =B-P+\Gamma }$

не залежить від способу розбивки області ${\displaystyle \Omega }$ і називається характеристикою Ейлера. Для кожної підобласті ${\displaystyle \Omega _{k}}$ можна знайти карту (систему координат ${\displaystyle \{u^{1},\,u^{2}\}}$), яка відображає область Евклідової площини в ${\displaystyle \Omega _{k}}$.

На першому етапі доводимо теорему для простої області, гомеоморфної кругу, з гладкою границею. На другому етапі граничним переходом поширюємо теорему на просту область з кутами. На третьому (топологічному) етапі об'єднуємо та склеюємо прості області в довільну область і показуємо, що при операціях об'єднання та склейки формула (1) залишається справедливою.

Обчислимо характеристику Ейлера для простої області ${\displaystyle \Omega }$. Межа цієї області є контуром ${\displaystyle L}$, гомеоморфним колу. Поставимо на цьому контурі дві точки ${\displaystyle P}$ і ${\displaystyle Q}$, які розбивають наш контур на дві дуги, гомеоморфні відрізку. Маємо дві вершини, два ребра і одну грань — саму область ${\displaystyle \Omega }$, тому за формулою (9) маємо:

${\displaystyle (10)\qquad \chi =B-P+\Gamma =2-2+1=1}$

і нам треба довести наступну формулу для цього випадку:

${\displaystyle (11)\qquad \iint _{\Omega }Kd\sigma +\oint _{L}k_{g}ds=2\pi }$

Візьмемо точку ${\displaystyle P}$ на контурі ${\displaystyle L}$. Позначимо буквою ${\displaystyle \mathbf {n} }$ вектор нормалі до контуру, напрямлений всередину області ${\displaystyle \Omega }$. При належному виборі напрямку обходу контуру компоненти цього вектора виражаються через дотичний вектор ${\displaystyle \tau ^{i}}$ та одиничний антисиметричний тензор ${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$:

${\displaystyle (12)\qquad n_{i}=\varepsilon _{ij}\tau ^{j}}$

При обході контуру, очевидно, вектори ${\displaystyle \mathbf {n} }$ і ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ повернуться на кут ${\displaystyle 2\pi }$ і збіжаться з початковими значеннями цих векторів.

Щоб простежити, як здійснюється цей поворот, розглянемо паралельне перенесення векторів. Як відомо, при паралельному перенесенні двох векторів зберігаються довжини векторів і кут між ними.

Нехай вектори ${\displaystyle \mathbf {v} }$ і ${\displaystyle \mathbf {w} }$ збігаються з векторами ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ і ${\displaystyle \mathbf {n} }$ в початковій точці ${\displaystyle P}$, але потім при обході контуру переносяться паралельно і після обходу виявляються повернутими на деякий кут ${\displaystyle \Delta \alpha }$. Ці два вектора утворюють ортонормований базис:

${\displaystyle (13)\qquad \mathbf {v} ^{2}=\mathbf {w} ^{2}=1,\qquad (\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} )=0}$

${\displaystyle (14)\qquad w_{i}=\varepsilon _{ij}v^{j}}$

Розкладемо одиничний дотичний вектор ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ за базисом ${\displaystyle \{\mathbf {v} ,\mathbf {w} \}}$:

${\displaystyle (15)\qquad {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {v} \cos \varphi +\mathbf {w} \sin \varphi }$

де ${\displaystyle \varphi }$ — кут, на який повернутий вектор ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ відносно вектора ${\displaystyle \mathbf {v} }$. На початку обходу ${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}=0}$.

В кінці обходу вектор ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ повернеться на кут ${\displaystyle 2\pi }$, а вектор ${\displaystyle \mathbf {v} }$ на кут ${\displaystyle \Delta \alpha }$, тому:

${\displaystyle (16)\qquad \varphi _{1}=2\pi -\Delta \alpha }$

Маємо такі тензорні диференціали векторів вздовж контуру:

${\displaystyle (17)\qquad D\tau ^{i}=d\tau ^{i}+\Gamma _{jk}^{i}\tau ^{j}du^{k}=k_{g}^{i}ds}$

${\displaystyle (18)\qquad Dv^{i}=dv^{i}+\Gamma _{jk}^{i}v^{j}du^{k}=0}$

${\displaystyle (19)\qquad Dw^{i}=dw^{i}+\Gamma _{jk}^{i}w^{j}du^{k}=0}$

тому при диференціюванні рівності (15) одержуємо:

${\displaystyle (20)\qquad k_{g}^{i}ds=-v^{i}\sin \varphi \,d\varphi +w^{i}\cos \varphi \,d\varphi =}$

${\displaystyle =\varepsilon ^{ij}(w_{j}\sin \varphi +v_{j}\cos \varphi )\,d\varphi =\varepsilon ^{ij}\tau _{j}d\varphi }$

Порівнюючи формули (20) і (7) знаходимо:

${\displaystyle (21)\qquad k_{g}ds=d\varphi }$

${\displaystyle (22)\qquad \oint _{L}k_{g}ds=\int _{\varphi _{0}}^{\varphi _{1}}d\varphi =2\pi -\Delta \alpha }$

Порівнюючи формули (22) і (11) одержуємо таку формулу, яку нам лишається довести:

${\displaystyle (23)\qquad \iint _{\Omega }Kd\sigma =\Delta \alpha }$

В лівій частині формули (23) стоїть інтеграл по двовимірній області ${\displaystyle \Omega }$, а в правій — поворот вектора при паралельному перенесенні довкола межі ${\displaystyle L}$ області ${\displaystyle \Omega }$, який природно буде виразити через контурний інтеграл. Ці два інтеграла — інтеграл по двовимірній області і інтеграл по межі цієї області можна пов'язати через застосування формули Остроградського — Гаусса. Але для цього нам знадобиться допоміжне векторне поле, яке визначене і диференційовне скрізь всередині області ${\displaystyle \Omega }$ та на її межі ${\displaystyle L}$.

Оскільки на контурі ${\displaystyle L}$ нас можуть цікавити лише кути між векторами а не їхні довжини, то доцільно вибрати допоміжне векторне поле ${\displaystyle \mathbf {a} }$ одиничної довжини, причому не лише на контурі, а і скрізь всередині області ${\displaystyle \Omega }$:

${\displaystyle (24)\qquad \mathbf {a} ^{2}=g_{ij}a^{i}a^{j}=g_{11}(a^{1})^{2}+2g_{12}a^{1}a^{2}+g_{22}(a^{2})^{2}=1}$

Очевидно що умова (24) разом з неперервністю поля ${\displaystyle \mathbf {a} }$ накладає деякі обмеження — це поле не може мати всередині ${\displaystyle \Omega }$ точок завихрення або точок, із яких вектори розходяться (або навпаки, сходяться) в різні боки. В усьому іншому поле ${\displaystyle \mathbf {a} }$ досить довільне.

Наприклад (хоч і необов'язково) можна взяти вектор напрямлений вздовж одного з координатних векторів. Коваріантні координати цього вектора:

${\displaystyle (25)\qquad a^{1}={1 \over {\sqrt {g_{11}}}},\qquad a^{2}=0}$

На контурі ${\displaystyle L}$ розкладемо одиничний вектор ${\displaystyle \mathbf {a} }$ по базису ${\displaystyle \{\mathbf {v} ,\mathbf {w} \}}$:

${\displaystyle (26)\qquad a^{i}=v^{i}\cos \alpha +w^{i}\sin \alpha }$

Тут вектори ${\displaystyle \mathbf {v} }$ і ${\displaystyle \mathbf {w} }$ ті ж самі що і раніше в цій статті — здійснюють паралельний обхід контуру.

Кут ${\displaystyle \alpha }$ між векторами ${\displaystyle ({\widehat {\mathbf {v} ,\mathbf {a} }})}$ є функцією від натурального параметра ${\displaystyle s}$ на контурі ${\displaystyle L}$:

${\displaystyle (27)\qquad \alpha =\alpha (s);\qquad \alpha (0)=\alpha _{0},\;\alpha (s_{\text{max}})=\alpha _{1}}$

Оскільки при обході контуру вектор ${\displaystyle \mathbf {a} }$ не змінює напрямку, а вектор ${\displaystyle \mathbf {v} }$ повертається на кут ${\displaystyle \Delta \alpha }$ то:

${\displaystyle (28)\qquad \Delta \alpha =-(\alpha _{1}-\alpha _{0})}$

Знак мінус в цій формулі виник внаслідок того, що повертається сам базис, відносно якого ми міряємо ${\displaystyle \alpha }$.

Продиференціюємо формулу (26) вздовж кривої ${\displaystyle L}$:

${\displaystyle (29)\qquad Da^{i}=(-v^{i}\sin \alpha +w^{i}\cos \alpha )\,d\alpha }$

Тензорний диференціал вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ можна записати через коваріантну похідну:

${\displaystyle (30)\qquad Da^{i}=da^{i}+\Gamma _{jk}^{i}a^{j}du^{k}=\left(\partial _{k}a^{i}+\Gamma _{jk}^{i}a^{j}\right)du^{k}=(\nabla _{k}a^{i})\tau ^{k}\,ds}$

Права ж частина формули (29) виражається через вектор:

${\displaystyle (31)\qquad b_{i}=\varepsilon _{ij}a^{j}=\varepsilon _{ij}\left(v^{j}\cos \alpha +w^{j}\sin \alpha \right)=w_{i}\cos \alpha -v_{i}\sin \alpha }$

який є одиничним вектором, повернутим на кут ${\displaystyle {\pi \over 2}}$ щодо вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$.

Підставивши (30) і (31) в формулу (29), ми одержимо векторне рівняння:

${\displaystyle (32)\qquad (\nabla _{k}a^{i})\tau ^{k}\,ds=b^{i}d\alpha }$

в якому нас цікавить скалярна функція ${\displaystyle \alpha =\alpha (s)}$.

Помножимо (32) скалярно на одиничний вектор ${\displaystyle b_{i}}$ і візьмемо інтеграл:

${\displaystyle (33)\qquad \int _{0}^{s_{\text{max}}}(b_{i}\nabla _{k}a^{i})\tau ^{k}\,ds=\int _{0}^{s_{\text{max}}}d\alpha =\alpha _{1}-\alpha _{0}=-\Delta \alpha }$

Інтеграл в лівій частині цієї рівності фактично є інтегралом по контуру.

Для застосування формули Остроградського — Гаусса нам потрібно, щоб підінтегральний вираз був скалярним добутком деякого вектора ${\displaystyle \mathbf {q} }$ на вектор зовнішньої нормалі (в наших старих позначеннях це ${\displaystyle -n_{i}=-\varepsilon _{ij}\tau ^{j}}$).

Домножимо рівняння (12) на ${\displaystyle \varepsilon ^{ik}}$, після цього знайдемо дотичний вектор ${\displaystyle \tau ^{k}}$:

${\displaystyle (34)\qquad \varepsilon ^{ik}n_{i}=\left(\varepsilon ^{ik}\varepsilon _{ij}\right)\tau ^{j}=\delta _{j}^{k}\tau ^{j}=\tau ^{k}}$

і підставити його в підінтегральний вираз формули (33), одночасно перейменовуючи індекси:

${\displaystyle (35)\qquad (b_{i}\nabla _{k}a^{i})\tau ^{k}=\left(\varepsilon ^{ik}b_{l}\nabla _{k}a^{l}\right)n_{i}}$

Вираз у дужках в правій частині цього рівняння і буде тим вектором ${\displaystyle \mathbf {q} }$:

${\displaystyle (36)\qquad q^{i}=\varepsilon ^{ik}b_{l}\nabla _{k}a^{l}}$

який підставляємо в рівняння (33):

${\displaystyle (37)\qquad \oint _{L}(\mathbf {q} \cdot \mathbf {n} )ds=-\Delta \alpha }$

Інтеграл являє собою потік вектора ${\displaystyle \mathbf {q} }$ всередину контуру ${\displaystyle L}$, враховуючи наш вибір напрямку нормалі ${\displaystyle \mathbf {n} }$. Застосовуючи формулу Остроградського — Гаусса (і враховуючи знак) маємо інтеграл від дивергенції:

${\displaystyle (38)\qquad \iint _{\Omega }({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} )d\sigma =\Delta \alpha }$

Порівнюючи формули (38) і (23) ми бачимо що для завершення першого етапу нам досить перевірити рівність підінтегральних виразів цих формул:

${\displaystyle (39)\qquad K=({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} )=\nabla _{i}q^{i}}$

Дивергенція вектора (36) розкладається на два доданка:

${\displaystyle (40)\qquad \nabla _{j}q^{j}=\nabla _{j}\left(\varepsilon ^{jk}b_{i}\nabla _{k}a^{i}\right)=\varepsilon ^{jk}\left(\nabla _{j}b_{i}\right)\left(\nabla _{k}a^{i}\right)+b_{i}\varepsilon ^{jk}\nabla _{j}\nabla _{k}a^{i}}$

Розпочнемо з другого доданку, а ще краще з частини цього доданку окрім множника ${\displaystyle b_{i}}$. Оскільки тензор ${\displaystyle \varepsilon ^{jk}}$ антисиметричний, то:

${\displaystyle (41)\qquad \varepsilon ^{jk}\nabla _{j}\nabla _{k}a^{i}={1 \over 2}\varepsilon ^{jk}\left(\nabla _{j}\nabla _{k}-\nabla _{k}\nabla _{j}\right)a^{i}={1 \over 2}\varepsilon ^{jk}R_{\,sjk}^{i}a^{s}={1 \over 2}\varepsilon ^{jk}R_{jk}^{is}a_{s}}$

Тензор Рімана для двовимірного многовида можна виразити через кривину Гаусса K:

${\displaystyle (42)\qquad R_{jk}^{is}=K\left(\delta _{j}^{i}\delta _{k}^{s}-\delta _{k}^{i}\delta _{j}^{s}\right)}$

Тому вираз (41) спрощується:

${\displaystyle (43)\qquad \varepsilon ^{jk}\nabla _{j}\nabla _{k}a^{i}={K \over 2}\varepsilon ^{jk}\left(\delta _{j}^{i}\delta _{k}^{s}-\delta _{k}^{i}\delta _{j}^{s}\right)a_{s}={K \over 2}2\varepsilon ^{is}a_{s}=Kb^{i}}$

а отже другий доданок формули (40) просто дорівнює Гауссовій кривині:

${\displaystyle (44)\qquad b_{i}\varepsilon ^{jk}\nabla _{j}\nabla _{k}a^{i}=Kb_{i}b^{i}=K}$

Залишається показати, що перший доданок формули (40) дорівнює нулю.

${\displaystyle (45)\qquad \varepsilon ^{jk}\left(\nabla _{j}b_{i}\right)\left(\nabla _{k}a^{i}\right)=0}$

Це прямо слідує з того факту, що похідні одиничного двовимірного вектора факторизуються (розкладаються на множники):

${\displaystyle (46)\qquad \nabla _{j}b_{i}=\lambda _{j}a_{i},\qquad \nabla _{k}a^{i}=\mu _{k}b^{i}}$

Дійсно, підставляючи (46) в (45) одержимо вираз:

${\displaystyle (47)\qquad \left(\varepsilon ^{jk}\lambda _{j}\mu _{k}\right)\left(a_{i}b^{i}\right)}$

в якому скалярний добуток векторів в других дужках дорівнює нулю.

Нарешті покажемо справедливість розкладу (46). Із одиничності вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ слідує:

${\displaystyle (48)\qquad a_{i}\nabla _{k}a^{i}=g_{ij}a^{j}\nabla _{k}a^{i}={1 \over 2}\nabla _{k}\left(g_{ij}a^{j}a^{i}\right)={1 \over 2}\nabla _{k}1=0}$

Оскільки вектор ${\displaystyle \mathbf {b} }$ також ортогональний до ${\displaystyle \mathbf {a} }$ то маємо наступну однорідну систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими ${\displaystyle a_{1},\,a_{2}}$:

${\displaystyle (49)\qquad {\begin{cases}(\nabla _{k}a^{1})a_{1}+(\nabla _{k}a^{2})a_{2}=0\\b^{1}a_{1}+b^{2}a_{2}=0\end{cases}}}$

Ця система має ненульовий розв'язок, тому матриця її коефіцієнтів:

${\displaystyle (50)\qquad {\begin{bmatrix}\nabla _{k}a^{1}&\nabla _{k}a^{2}\\b^{1}&b^{2}\end{bmatrix}}}$

вироджена і рядки цієї матриці пропорційні. Тобто ми маємо друге рівняння (46). Перше рівняння одержується аналогічно.

Формулу (11) доведено.

Розглянемо просту область з кусково-гладкою межею. Ми можемо згладити всі кути, вписуючи гладку дугу ${\displaystyle AB}$ в кожен криволінійний кут ${\displaystyle P}$ (див. малюнок).

Одержуємо область з гладкою межею, до якої можна застосувати теорему Гаусса — Бонне, доведену на першому етапі. Спробуємо здійснити граничний перехід формули (11) стягуючи дугу ${\displaystyle AB}$ в точку зламу ${\displaystyle P}$.

Перший інтеграл формули (11) для згладженої і незгладженої кривих, відрізняється на величину інтеграла по криволінійному трикутнику ${\displaystyle ABP}$

${\displaystyle (51)\qquad \iint _{\triangle ABP}Kd\sigma }$

Оскільки площа цього трикутника прямує до нуля, а Гауссова кривина ${\displaystyle K}$ обмежена, то і величина (51) прямує до нуля. Отже при граничному переході перший інтеграл

${\displaystyle (52)\qquad \iint _{\Omega }Kd\sigma }$

зберігає свій вигляд, просто область ${\displaystyle \Omega }$ може мати злами на контурі.

З другим (контурним) інтегралом складніше. Розглянемо спочатку випадок плоского многовида (евклідову площину). В цьому разі паралельне перенесення не залежить від шляху і тому можна говорити про кут між векторами, що знаходяться в різних точках. Інтегрування геодезичної кривини по дузі ${\displaystyle AB}$, згідно з формулою (22), дає кут між дотичними в точках ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$:

${\displaystyle (53)\qquad \int _{\smile AB}k_{g}ds=\phi _{A}-\phi _{B}}$

При граничному переході ця величина прямує до кута ${\displaystyle \phi }$ між двома дотичними векторами в точці зламу ${\displaystyle P}$:

${\displaystyle (54)\qquad \qquad \int _{\smile AB}k_{g}ds\to \phi }$

а інтеграли по (викинутих при згладжуванні) дугах ${\displaystyle AP}$ і ${\displaystyle PB}$ прямують до нуля, оскільки геодезична кривина цих дуг залишається обмеженою, а їхня довжина зменшується до нуля.

Із формули (54) слідує формула (8) при ${\displaystyle \chi (\Omega )=1}$, що і треба було довести.

Нам ще залишається довести, що формула (54) має місце і в загальному випадку викривленого многовида. Виберемо систему координат на мн оговиді в околі точки ${\displaystyle P}$ таку, що метричний тензор ${\displaystyle g_{ij}}$ в точці ${\displaystyle P}$ записується одиничною матрицею ${\displaystyle \delta _{ij}}$, а символи Крістофеля ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{s}}$ в цій точці дорівнюють нулю.

Дану систему координат ${\displaystyle \{u^{1},u^{2}\}}$ можна розглядати як дифеоморфне відображення між областю многовиду та областю площини (картою), в якій ця система координат є декартовою.

Позначимо ${\displaystyle dt}$ елемент довжини кривої на карті:

${\displaystyle \qquad dt={\sqrt {(u^{1})^{2}+(u^{2})^{2}}}}$

а буквою з тильдою ${\displaystyle {\tilde {k}}_{g}}$ — геодезичну кривину кривої на карті. Тоді:

${\displaystyle (55)\qquad k_{g}=\varepsilon _{ij}\tau ^{i}k^{j}=\varepsilon _{ij}{du^{i} \over ds}\left({d^{2}u^{j} \over ds^{2}}+\Gamma _{kl}^{j}{du^{k} \over ds}{du^{l} \over ds}\right)}$

${\displaystyle (56)\qquad {\tilde {k}}_{g}dt={\hat {\varepsilon }}_{ij}{\dot {u}}^{i}{\ddot {u}}^{j}dt}$

${\displaystyle (57)\qquad k_{g}ds={{\sqrt {g}} \over {\dot {s}}^{2}}{\hat {\varepsilon }}_{ij}{\dot {u}}^{i}\left({\ddot {u}}^{j}+\Gamma _{kl}^{j}{\dot {u}}^{k}{\dot {u}}^{l}\right)\;dt}$

Крапками позначено похідні по параметру ${\displaystyle t}$.

Із двох останніх формул уже можна зробити висновок про однаковість, з точністю до нескінченно малих доданків, двох інтегралів від геодезичної кривини по дузі ${\displaystyle AB}$, один з яких береться по многовиду, а другий по карті:

${\displaystyle \qquad \int _{\smile AB}k_{g}ds\simeq \int _{\smile AB}{\tilde {k}}_{g}dt}$

але для цього потрібні два додаткових припущення щоб унеможливити надмірну довжину дуги ${\displaystyle AB}$ за рахунок осциляцій або закручувань у спіраль. А саме, припустимо що знак геодезичної на дузі ${\displaystyle AB}$ є постійний, а також, що дуга ${\displaystyle AB}$ не має інших спільних точок з криволінійним кутом, окрім своїх кінців.

Дійсно, множник

${\displaystyle \qquad {{\sqrt {g}} \over {\dot {s}}^{2}}={{\sqrt {g}} \over {g_{11}\cos ^{2}\alpha +2g_{12}\cos \alpha \sin \alpha +g_{22}\sin ^{2}\alpha }}\to 1}$

прямує до одиниці, а символи Крістофеля до нуля внаслідок спеціального вибору системи координат.

Отже і в загальному випадку справедлива границя (54), а тому для простої області доведено варіант формули (8):

${\displaystyle (58)\qquad \iint _{\Omega }Kd\sigma +\oint _{L}k_{g}ds+\sum _{i}\phi _{i}=2\pi }$

Розіб'ємо топологічно складну область ${\displaystyle \Omega }$ на скінченну кількість простих підобластей ${\displaystyle \Omega _{i}}$, до кожної з яких можна застосувати формулу (58).

Характеристика Ейлера обчислюється за формулою (9)

${\displaystyle \qquad \chi =B-P+\Gamma }$

де ${\displaystyle B,P,\Gamma }$ позначають кількості вершин, ребер та граней (підобластей ${\displaystyle \Omega _{i}}$). Для простоти доведення будемо вважати всі ребра одержаного графу гладкими кривими, а всі злами на контурах відбуваються при вершинах графу.

Зручно розглядати внутрішні кути ${\displaystyle \alpha _{ij}}$ при всіх вершинах графу. Тут перший індекс (${\displaystyle i}$) нумерує всі вершини, як внутрішні, так і ті, що лежать на межі ${\displaystyle \partial \Omega }$ області ${\displaystyle \Omega }$.

Другий індекс (${\displaystyle j}$) нумерує кути при вершині ${\displaystyle A_{i}}$.

Злам ${\displaystyle \phi _{ij}}$ при вершині є доповненням до внутрішнього кута:

${\displaystyle \phi _{ij}=\pi -\alpha _{ij}}$

і ми можемо знайти суму формул (58) для всіх підобластей ${\displaystyle \Omega _{i}}$:

${\displaystyle (59)\qquad 2\pi \Gamma =\sum _{\Omega _{i}}\iint _{\Omega _{i}}Kd\sigma +\sum _{L_{i}}\int _{L_{i}}k_{g}ds+\sum _{A_{i}}\sum _{j}(\pi -\alpha _{ij})}$

Розберемося з кожним із трьох доданків у правій частині формули (59).

Перший доданок, очевидно, дорівнює інтегралу по цілій області ${\displaystyle \Omega }$:

${\displaystyle (60)\qquad \iint _{\Omega }Kd\sigma =\sum _{\Omega _{i}}\iint _{\Omega _{i}}Kd\sigma }$

В другому доданку треба розрізняти зовнішні ребра ${\displaystyle L_{i}\in \,\partial \Omega }$, які лежать на межі, від внутрішніх.

Інтегрування по внутрішньому ребру відбувається двічі, при розгляді двох суміжних підобластей, що розділяються даним ребром. Причому проєкції геодезичної кривини будуть протилежними:

${\displaystyle \qquad k_{g}=(\mathbf {k} _{g}\cdot \mathbf {n} )=-(\mathbf {k} _{g}\cdot \mathbf {n'} )=-{k_{g}}'}$

A отже всі інтеграли по внутрішніх ребрах взаємно компенсуються і в сумі (59) лишаються тільки інтеграли по зовнішніх ребрах:

${\displaystyle (61)\qquad \sum _{L_{i}}\int _{L_{i}}k_{g}ds=\sum _{L_{i}\in \,\partial \Omega }\int _{L_{i}}k_{g}ds}$

Перейдемо до розгляду третього доданка формули (59). Для кожної внутрішньої вершини маємо:

${\displaystyle (62)\qquad \sum _{j}(\pi -\alpha _{ij})=\pi \rho _{i}-2\pi }$

де ${\displaystyle \rho _{i}}$ — кількість кінців (внутрішніх) ребер, що сходяться в цій вершині.

Для вершини на межі області ${\displaystyle \Omega }$ маємо:

${\displaystyle (63)\qquad \sum _{j}(\pi -\alpha _{ij})=\pi \rho _{i}+(\pi -{\hat {A}}_{i})=\pi \rho _{i}+\phi _{i}}$

де ${\displaystyle \rho _{i}}$ також, як і в попередній формулі, позначає кількість кінців внутрішніх ребер, що сходяться у вершині ${\displaystyle A_{i}}$, а ${\displaystyle \phi _{i}}$ позначає кут, на який повертається дотичний до лінії межі вектор при переході через точку ${\displaystyle A_{i}}$.

Оскільки кожне ребро має два кінця, то сума всіх цих кінців дорівнює подвоєній кількості внутрішніх ребер:

${\displaystyle (64)\qquad \sum _{i}\rho _{i}=2P_{\mbox{int}}}$

і ми можемо записати для третього доданка:

${\displaystyle (65)\qquad \sum _{A_{i}}\sum _{j}(\pi -\alpha _{ij})=2\pi \left(P_{\mbox{int}}-B_{\mbox{int}}\right)+\sum _{A_{i}\in \partial \Omega }\phi _{i}}$

Очевидно, що межа ${\displaystyle \partial \Omega }$ складається з декількох контурів, гомеомеорфних колу. На кожному такому контурі, а отже і на всій межі ${\displaystyle \partial \Omega }$ кількість вершин ${\displaystyle B_{\partial \Omega }}$ і кількість ребер ${\displaystyle P_{\partial \Omega }}$ однакова. Маємо:

${\displaystyle (66)\qquad P_{\mbox{int}}-B_{\mbox{int}}=\left(P_{\mbox{int}}+P_{\partial \Omega }\right)-\left(B_{\mbox{int}}+B_{\partial \Omega }\right)=P-B}$

Підставимо формули (60), (61), (65) і (66) в (59). Одержуємо:

${\displaystyle (67)\qquad 2\pi \Gamma =\iint _{\Omega }Kd\sigma +\sum _{L_{i}\in \,\partial \Omega }\int _{L_{i}}k_{g}ds+\sum _{A_{i}\in \partial \Omega }\phi _{i}+2\pi (P-B)}$

що є еквівалентом формули (8). Теорему повністю доведено.

Окремий випадок цієї формули для геодезичних трикутників був отриманий Гауссом, проте він не опублікував її. В 1848 році її опублікував французький математик Бонне П'єр Осіян, який узагальнив формулу на випадок диска, обмеженого довільною кривою. У сучасному формулюванні формула вперше з'являється у Вільгельма Бляшке.