Функція Мебіуса — Вікіпедія

Ця стаття не містить посилань на джерела. Ви можете допомогти поліпшити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (вересень 2019)

Функція Мебіуса ${\displaystyle \mu (n)}$ — мультиплікативна функція, яку застосовують у теорії чисел і комбінаториці, названа на честь німецького математика Мебіуса, який вперше розглянув її у 1831 р.

${\displaystyle \mu (n)}$ визначена на множині всіх натуральних чисел ${\displaystyle n}$ і набуває значення ${\displaystyle {-1,\;0,\;1}}$ в залежності від вигляду розкладання числа ${\displaystyle n}$ на прості множники:

• ${\displaystyle \mu (n)=1}$, якщо ${\displaystyle n=1}$;
• ${\displaystyle \mu (n)=0}$, якщо ${\displaystyle n}$ ділиться на квадрат простого числа;
• ${\displaystyle \mu (n)=(-1)^{k}}$, якщо канонічний розклад ${\displaystyle n}$ має вигляд ${\displaystyle n=p_{1}p_{2}...p_{k}}$, де прості множники різні.

Функція Мебіуса мультиплікативна: для довільних взаємно простих чисел ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ виконується рівність

${\displaystyle \mu (ab)=\mu (a)\mu (b).}$

Сума значень функції Мебіуса по всім дільникам цілого числа ${\displaystyle n\geq 2}$ дорівнює нулю:

${\displaystyle \sum _{d|n}\mu (d)=\left\{{\begin{matrix}1,&n=1\\0,&n>1\end{matrix}}\right.}$

Звідси, зокрема, випливає, що для довільної непорожньої скінченної множини кількість різних підмножин, які містять непарне число елементів, дорівнює кількості різних підмножин, які містять парне число елементів — факт, який застосовується у формулі обертання Мебіуса.

Функція Мебіуса пов'язана з функцією Ейлера ${\displaystyle \varphi (n)}$ таким співвідношенням:

${\displaystyle \varphi (n)=\sum _{d|n}\mu (d){\frac {n}{d}},}$

де в правій частині перераховуються всі дільники числа ${\displaystyle n}$.

Для арифметичних функцій ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle g}$,

${\displaystyle \ g(n)=\sum _{d|n}f(d)}$

тоді і тільки тоді, коли

${\displaystyle f(n)=\sum _{d\,\mid \,n}\mu (d)g\left({\frac {n}{d}}\right)}$.

Цю рівність також називають принципом обернення Дедекінда-Ліувілля на честь німецького математики Ріхарда Дедекінда (1831—1916) та французького математика Жозефа Ліувілля (1809—1882).

Для дійснозначних функцій ${\displaystyle f(x)}$ і ${\displaystyle g(x)}$, визначених при ${\displaystyle x\geqslant 1}$,

${\displaystyle g(x)=\sum _{n\leqslant x}f\left({\frac {x}{n}}\right)}$

тоді і тільки тоді, коли

${\displaystyle f(x)=\sum _{n\leqslant x}\mu (n)g\left({\frac {x}{n}}\right)}$.