Функція маси імовірності — Вікіпедія

У теорії ймовірностей та статистиці фу́нкція ма́си імові́рності^[1] (англ. probability mass function, яку іноді називають функцією імовірності або функцією частоти, англ. probability function, frequency function^[2]) — це функція, яка дає ймовірність того, що дискретна випадкова величина дорівнює певному значенню.^[3] Іноді її також називають фу́нкцією густини́ дискре́тної імові́рності (англ. discrete probability density function). Функція маси ймовірності часто є основним засобом визначення дискретного розподілу ймовірності, й такі функції існують для скалярних та багатовимірних випадкових величин із дискретною областю визначення.

Функція маси ймовірності відрізняється від функції густини імовірності (ФГІ) тим, що остання пов'язана з неперервними випадковими величинами, а не з дискретними. Щоби вона давала ймовірність, ФГІ потрібно інтегрувати на проміжку.^[4]

Значення випадкової величини, яке має найбільшу масу ймовірності, називають модою.

Функція маси ймовірності — це розподіл імовірності дискретної випадкової величини, вона подає можливі значення та їхні відповідні ймовірності. Це функція ${\displaystyle p:\mathbb {R} \to [0,1]}$, визначена як

для ${\displaystyle -\infty <x<\infty }$,^[4] де ${\displaystyle P}$ — це міра ймовірності. ${\displaystyle p_{X}(x)}$ також може бути спрощено записано як ${\displaystyle p(x)}$.^[5]

Імовірності, пов'язані з усіма (гіпотетичними) значеннями, повинні бути невід'ємними, та давати в сумі 1:

$${\displaystyle \sum _{x}p_{X}(x)=1}$$ і $${\displaystyle p_{X}(x)\geq 0.}$$

Міркування про ймовірність як про масу допомагає уникати помилок, оскільки фізична маса зберігається, як і повна ймовірність для всіх гіпотетичних результатів ${\displaystyle x}$.

Функцію маси ймовірності дискретної випадкової величини ${\displaystyle X}$ можливо розглядати як окремий випадок двох загальніших конструкцій теорії міри: розподілу ${\displaystyle X}$ та функції густини ймовірності ${\displaystyle X}$ щодо лічильної міри. Нижче наведено докладніше пояснення.

Припустімо, що ${\displaystyle (A,{\mathcal {A}},P)}$ — імовірнісний простір, а ${\displaystyle (B,{\mathcal {B}})}$ — вимірний простір, σ-алгебра в основі якого дискретна, зокрема містить одноелементні множини з ${\displaystyle B}$. У цьому випадку випадкова величина ${\displaystyle X\colon A\to B}$ дискретна, за умови що її образ зліченний. Образ міри(інші мови) ${\displaystyle X_{*}(P)}$, в цьому контексті званий розподілом ${\displaystyle X}$, є ймовірнісною мірою на ${\displaystyle B}$, обмеження якої на одноелементні множини породжує функцію маси ймовірності (як зазначено в попередньому розділі) ${\displaystyle f_{X}\colon B\to \mathbb {R} }$, оскільки ${\displaystyle f_{X}(b)=P(X^{-1}(b))=P(X=b)}$ для кожного ${\displaystyle b\in B}$.

Тепер припустімо, що ${\displaystyle (B,{\mathcal {B}},\mu )}$ — простір з мірою з лічильною мірою ${\displaystyle \mu }$. Функція густини ймовірності ${\displaystyle f}$ для ${\displaystyle X}$ щодо лічильної міри, якщо вона існує, є похідною Радона — Нікодима образу міри ${\displaystyle X}$ (щодо лічильної міри), тож ${\displaystyle f=dX_{*}P/d\mu }$, а ${\displaystyle f}$ є функцією з ${\displaystyle B}$ до невід'ємних дійсних чисел. Як наслідок, для будь-якого ${\displaystyle b\in B}$ маємо $${\displaystyle P(X=b)=P(X^{-1}(b))=X_{*}(P)(b)=\int _{b}fd\mu =f(b),}$$

що показує, що ${\displaystyle f}$ є фактично функцією маси ймовірності.

Якщо існує природний порядок серед можливих значень ${\displaystyle x}$, то може бути зручно призначити їм числові значення (або n-вимірні кортежі у випадку дискретної багатовимірної випадкової величини), і розглянути також значення, що не належать образові ${\displaystyle X}$. Тобто, ${\displaystyle f_{X}}$ може бути визначено для всіх дійсних чисел, і ${\displaystyle f_{X}(x)=0}$ для всіх ${\displaystyle x\notin X(S)}$, як показано на графіку.

Образ ${\displaystyle X}$ має зліченну підмножину, на якій функція маси ймовірності ${\displaystyle f_{X}(x)}$ є одиницею. Як наслідок, функція маси ймовірності дорівнює нулеві для всіх, крім зліченної кількості значень ${\displaystyle x}$.

Розривність функцій маси ймовірності пов'язана з тим, що інтегральна функція розподілу дискретної випадкової величини також розривна. Якщо ${\displaystyle X}$ — дискретна випадкова величина, то ${\displaystyle P(X=x)=1}$ означає, що випадкова подія ${\displaystyle (X=x)}$ достовірна (відбувається у 100 % випадків); навпаки, ${\displaystyle P(X=x)=0}$ означає, що випадкова подія ${\displaystyle (X=x)}$ неможлива. Це твердження не істинне для неперервної випадкової величини ${\displaystyle X}$, для якої ${\displaystyle P(X=x)=0}$ для будь-якого можливого ${\displaystyle x}$. Процес перетворення неперервної випадкової величини на дискретну — це дискретування(інші мови).

Є три основні пов'язані розподіли: розподіл Бернуллі, біноміальний розподіл та геометричний розподіл.

• Розподіл Бернуллі, ber(p), використовують для моделювання експерименту, що має лише два можливі результати. Ці два результати часто кодують як 1 та 0. $${\displaystyle p_{X}(x)={\begin{cases}p,&{\text{якщо }}x=1\\1-p,&{\text{якщо }}x=0\end{cases}}}$$ Приклад розподілу Бернуллі — підкидання монети. Нехай ${\displaystyle S}$ — це вибірко́вий простір всіх результатів одиничного підкидання симетричної монети(інші мови), а ${\displaystyle X}$ — випадкова величина, визначена на ${\displaystyle S}$, яка призначує 0 категорії «реверс» і 1 категорії «аверс». Оскільки монета симетрична, функція маси ймовірності така: $${\displaystyle p_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}},&x=0,\\{\frac {1}{2}},&x=1,\\0,&x\notin \{0,1\}.\end{cases}}}$$
• Біноміальний розподіл моделює кількість успіхів у разі ${\displaystyle n}$ спроб із вертанням. Кожна спроба або експеримент незалежна й має два можливі результати. Пов'язана з ним функція маси ймовірності виглядає як ${\textstyle {\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$.

  

  Приклад біноміального розподілу — ймовірність отримати рівно одну 6 при підкиданні симетричної гральної кісточки тричі.
• Геометричний розподіл описує кількість спроб, необхідних для досягнення одного успіху. Його функція маси ймовірності виглядає як ${\textstyle p_{X}(k)=(1-p)^{k-1}p}$.
  Приклад — підкидання монети, поки не випаде перший аверс. ${\displaystyle p}$ позначує ймовірність результату «аверс», а ${\displaystyle k}$ — кількість необхідних підкидань монети.
  Інші розподіли, які можливо моделювати за допомогою функції маси ймовірності,  — категорійний розподіл (відомий також як узагальнений розподіл Бернуллі) та поліноміальний розподіл.
• Якщо дискретний розподіл має дві або більше категорій, з яких може відбутися одна, незалежно від того, чи мають ці категорії природний порядок, і коли є лише одна спроба (витягування), то це категоріальний розподіл.
• Приклад багатовимірного дискретного розподілу та його функції маси ймовірності — поліноміальний розподіл. У ньому декілька випадкових величин відповідають кількостям успіхів у кожній з категорій після заданої кількості спроб, і кожна ненульова функція маси ймовірності дає ймовірність певної комбінації кількостей успіхів у різних категоріях.

Наведений нижче експоненційно спадний розподіл — приклад розподілу з нескінченним числом можливих результатів, усіма додатними цілими числами: $${\displaystyle {\text{Pr}}(X=i)={\frac {1}{2^{i}}}\qquad {\text{для }}i=1,2,3,\dots }$$ Незважаючи на нескінченну кількість можливих результатів, сумарна маса ймовірності становить 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ = 1, що відповідає вимозі одиничної повної ймовірності для її розподілу.

Дві або більше дискретні випадкові величини мають спільну функцію маси ймовірності, яка задає ймовірність кожної можливої комбінації результатів для цих випадкових величин.

• Johnson, N. L.; Kotz, S.; Kemp, A. (1993). Univariate Discrete Distributions (англ.) (вид. 2nd). Wiley. с. 36. ISBN 0-471-54897-9.