Відношення (ln n !) до (n ln n − n ) при n прямуючому до нескінченості прямує до 1. Формула Стірлінґа є наближенням для факторіалів при великих значеннях n , названа на честь Джеймса Стірлінґа . Формальне твердження формули
lim n → ∞ n ! n n e − n 2 π n = 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{n! \over {n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}}}=1} або n ! ≈ n n e − n 2 π n ( n → ∞ ) {\displaystyle n!\approx n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ (n\to \infty )} Формула Стірлінґа отримується із Асимптотичного розкладу Стірлінга для Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} та n ! {\displaystyle n!} :
Γ ( z ) = e − z z z − 1 / 2 2 π [ 1 + 1 12 z + 1 288 z 2 − 139 51840 z 3 − 571 2488320 z 4 + O ( z − 5 ) ] {\displaystyle \Gamma (z)=e^{-z}z^{z-1/2}{\sqrt {2\pi }}{\begin{bmatrix}1+{1 \over {12z}}+{1 \over {288z^{2}}}-{139 \over {51840z^{3}}}-{571 \over {2488320z^{4}}}+O(z^{-5})\end{bmatrix}}} де ( | a r g z | < π ) {\displaystyle ({\begin{vmatrix}arg\ z\end{vmatrix}}<\pi )} (ряд Стірлінґа ) Ряд Стірлінґа особливо корисний для великих значень | z | {\displaystyle {\begin{vmatrix}z\end{vmatrix}}} : для дійсних додатних z абсолютна похибка менша ніж абсолютна величина останнього із взятих елементів ряду.
Рядом Стірлінґа також називається асимптотичний розклад логарифма від n!:
log n ! = n log n − n + 1 2 log ( 2 π n ) + 1 12 n − 1 360 n 3 + 1 1260 n 5 − 1 1680 n 7 + ⋯ {\displaystyle \log n!=n\log n-n+{1 \over 2}\log(2\pi n)+{1 \over 12n}-{1 \over 360n^{3}}+{1 \over 1260n^{5}}-{1 \over 1680n^{7}}+\cdots } Відносна похибка формули Стірлінґа спадає із зростанням n, ця формула часто використовується для обчислення відношення двох факторіалів або гамма-функцій, оскільки в цьому випадку відносна похибка особливо важлива. Зауважимо зокрема що Формула Стірлінґа є просто першим наближенням для ряду Стірлінґа.
n n e − n 2 π n < n ! < n n 2 π n e − n + 1 12 n {\displaystyle n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}<n!<n^{n}{\sqrt {2\pi n}}\ e^{-n+{1 \over {12n}}}} та n ! ≈ n n 2 π n e − n + 1 12 n − 1 360 n 2 + . . . {\displaystyle n!\approx n^{n}{\sqrt {2\pi n}}\ e^{-n+{1 \over {12n}}-{1 \over {360n^{2}}}+...}} при n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } Грубо кажучи, найпростішу версію формули Стірлінґа можна швидко отримати, наближаючи суму
ln n ! = ∑ j = 1 n ln j {\displaystyle \ln n!=\sum _{j=1}^{n}\ln j} до інтегралу
∑ j = 1 n ln j ≈ ∫ 1 n ln x d x = n ln n − n + 1. {\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\ln j\approx \int _{1}^{n}\ln x\,{\rm {d}}x=n\ln n-n+1.} Повна формула разом із точною похибкою може бути отримана наступним чином.Замість наближення n ! , розглядається логарифм натуральний оскільки він є функцією, яка повільно змінюється
ln n ! = ln 1 + ln 2 + ⋯ + ln n . {\displaystyle \ln n!=\ln 1+\ln 2+\cdots +\ln n.} Від правої частини рівняння віднімаємо
1 2 ( ln 1 + ln n ) = 1 2 ln n , {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\ln 1+\ln n)={\tfrac {1}{2}}\ln n,} і наближуємо методом трапецій інтеграл
ln n ! − 1 2 ln n ≈ ∫ 1 n ln x d x = n ln n − n + 1 , {\displaystyle \ln n!-{\tfrac {1}{2}}\ln n\approx \int _{1}^{n}\ln x\,{\rm {d}}x=n\ln n-n+1,} Похибка в цьому наближенні задається формулою Ейлера—Маклорена
ln n ! − 1 2 ln n = 1 2 ln 1 + ln 2 + ln 3 + ⋯ + ln ( n − 1 ) + 1 2 ln n = n ln n − n + 1 + ∑ k = 2 m ( − 1 ) k B k k ( k − 1 ) ( 1 n k − 1 − 1 ) + R m , n , {\displaystyle {\begin{aligned}\ln n!-{\tfrac {1}{2}}\ln n&={\tfrac {1}{2}}\ln 1+\ln 2+\ln 3+\cdots +\ln(n-1)+{\tfrac {1}{2}}\ln n\\&=n\ln n-n+1+\sum _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)}}\left({\frac {1}{n^{k-1}}}-1\right)+R_{m,n},\end{aligned}}} де Bk — числа Бернуллі та R m ,n — залишковий член у формулі Ейлера—Маклорена. Перейдемо до границі
lim n → ∞ ( ln n ! − n ln n + n − 1 2 ln n ) = 1 − ∑ k = 2 m ( − 1 ) k B k k ( k − 1 ) + lim n → ∞ R m , n . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\ln n!-n\ln n+n-{\tfrac {1}{2}}\ln n\right)=1-\sum _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)}}+\lim _{n\to \infty }R_{m,n}.} Позначимо цю границю як y . Оскільки залишок R m ,n у формулі Ейлера—Маклорена задовольняє
R m , n = lim n → ∞ R m , n + O ( 1 n m ) , {\displaystyle R_{m,n}=\lim _{n\to \infty }R_{m,n}+O\left({\frac {1}{n^{m}}}\right),} де ми використовуємо нотацію Ландау ,об'єднуючи вищенаведені рівняння, отримуємо наближену формулу в її логарифмічній формі
ln n ! = n ln ( n e ) + 1 2 ln n + y + ∑ k = 2 m ( − 1 ) k B k k ( k − 1 ) n k − 1 + O ( 1 n m ) . {\displaystyle \ln n!=n\ln \left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)+{\tfrac {1}{2}}\ln n+y+\sum _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)n^{k-1}}}+O\left({\frac {1}{n^{m}}}\right).} Взявши експоненту обох сторін і вибираючи будь-яке натуральне m ,отримуємо формулу з невідомою величиною \mathrm{e}y . Для m = 1 формула набуває вигляду
n ! = e y n ( n e ) n ( 1 + O ( 1 n ) ) . {\displaystyle n!=\mathrm {e} ^{y}{\sqrt {n}}\left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).} Величина e y {\displaystyle \mathrm {e} ^{y}} може бути знайдена, якщо в обох сторонах перейти до границі при ( n → ∞ ) {\displaystyle (n\to \infty )} та застосувавши формулу Валліса , яка показує, що e y = 2 π {\displaystyle \mathrm {e} ^{y}={\sqrt {2\pi }}} . Таким чином, отримаємо формулу Стірлінґа
n ! = 2 π n ( n e ) n ( 1 + O ( 1 n ) ) . {\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).} Формулу вперше відкрив Абрахам де Муавр у формі
n ! ∼ [ c o n s t a n t ] ⋅ n n + 1 / 2 e − n {\displaystyle n!\sim [{\rm {constant}}]\cdot n^{n+1/2}e^{-n}} Стірлінґ встановив що константа дорівнює 2 π {\displaystyle {\sqrt {2\pi }}} .