提示:此条目页的主题不是
值域。
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Codomain2.SVG/250px-Codomain2.SVG.png)
是一個將所有定義域
(紅色區塊)中的點
對應到點
的函數。蒐集所有點
的集合(黃色區塊)為函數
的值域,
(藍色區塊)為
的對應域。 對應域(英語:Codomain),或稱為陪域、餘定義域、上域、终域、共变域、目標集合。
在數學領域中,一個函數的對應域指的是至少包含所有此函數的輸出值的一個集合。在函數符號
中,
是函數
的對應域。
的值域是
的一個子集,若
是一個滿射函數,則
的對應域和值域相等,反之則代表有
不存在於
的值域中,使得方程式
無解。
定義三個函數:
![{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\ f(x)=x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daeb78a600cb0677b3de08efefffda9860239f7e)
![{\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+},\ g(x)=x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ea25913e8657227e444cd698974189cb89f0ea8)
![{\displaystyle h\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\rightarrow \mathbb {R} ,\ h(x)={\sqrt {x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40fefa70ebe375166304feecb1dc21efd4922312)
其中
。
- 因為
,函數
的輸出值皆為非負數,所以
的值域為
,也就是
區間。又因
,即
的對應域不等於值域,所以
不是一個滿射函數。 - 雖然
和
函數的輸出值相同,但因為兩者的對應域不同,因此不是相同的函數。 - 因為
的對應域不等於
的定義域,合成函數
為無效的函數。唯有合成符號右側函數的對應域和左側函數的定義域相同時,該合成函數才有效,例如
。
定義
為介於兩個線性空間的線性變換:
![{\displaystyle T:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7935fb40936728600e35968ac1c5cabf193e53d)
也可以被表達成一個2×2的實數矩陣,代表一個從定義域
到對應域
的對應方式。 假設
![{\displaystyle T={\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbd824d76013ee90e43938bb4b47c466cbfbd8e4)
則代表把所有定義域中的點
對應到對應域中的點
。由於
的值域只蒐集了所有
的點,例如點
不在
的值域中,但在
的對應域
中,因此
不是一個滿射函數。
在此例中,2×2的矩陣在秩(rank)等於2時,為滿射函數,小於2時則非。對應域和值域是否相等可做為判斷矩陣是否有滿秩(full rank)的依據,因為
的值域小於對應域,所以
沒有滿秩。