上极限和下极限的示意图。數列 x n 为蓝色。两个红色虛線曲线逼近數列 x n 的上极限和下极限。數列的上下極限相等若且唯若此數列收敛 在微积分学 中,上極限和下極限 (英語:Limit superior and limit inferior )是指數列極限 的上极限和下极限,可以大致想像為數列极限的上下界。舉例來說,數列 { ( − 1 ) n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{(-1)^{n}\}_{n=1}^{\infty }} 的上極限為 1,下極限為 -1。 函数 的上极限和下极限可以用类似方式考虑。[註 1] 。集合的上极限和下极限分别是这个集合的极限点 的上确界 和下确界 。
序列 ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} 的上极限定义是
lim sup n → ∞ x n = inf n ≥ 0 sup k ≥ n x k = inf { sup { x k : k ≥ n } : n ≥ 0 } {\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\inf _{n\geq 0}\,\sup _{k\geq n}x_{k}=\inf\{\,\sup\{\,x_{k}:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}} ; 或者
lim sup n → ∞ x n = lim n → ∞ ( sup m ≥ n x m ) {\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sup _{m\geq n}x_{m}\right)} 。 同样的,序列 x n {\displaystyle x_{n}} 的下极限定义是
lim inf n → ∞ x n = sup n ≥ 0 inf k ≥ n x k = sup { inf { x k : k ≥ n } : n ≥ 0 } {\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\sup _{n\geq 0}\,\inf _{k\geq n}x_{k}=\sup\{\,\inf\{\,x_{k}:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}} ; 或者
lim inf n → ∞ x n = lim n → ∞ ( inf m ≥ n x m ) {\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\inf _{m\geq n}x_{m}\right)} 。 这些定义在任意的偏序集 都适用,只需要上确界 和下确界 存在。 在完全格 裡,上确界和下确界总是存在,所以其中的序列一定有上极限和下极限。
每当 lim inf x n {\displaystyle \liminf x_{n}} 和 lim sup x n {\displaystyle \limsup x_{n}} 都存在,那么
lim inf n → ∞ x n ≤ lim sup n → ∞ x n {\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}} 。 上极限和下极限也记为 lim ¯ n → ∞ x n {\displaystyle \varlimsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}} 和 lim _ n → ∞ x n {\displaystyle \varliminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}} 。
实数集 R 的数列 对微积分 很重要。R 不是完備格 ,但可以加入正负无穷 以得到完備全序集 [ − ∞ , + ∞ ] {\displaystyle [-\infty ,+\infty ]} ,形成完備格 。那么在 [ − ∞ , + ∞ ] {\displaystyle [-\infty ,+\infty ]} 中数列 ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} 收敛 当且仅当 lim inf x n = lim sup x n {\displaystyle \liminf x_{n}=\limsup x_{n}} ,而这时 lim x n {\displaystyle \lim x_{n}} 等于上面的共同值。[註 2]
若實數數列 ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} 的上極限為實數[註 3] ,那麼上極限是最小的實數 a ,使得對任意小的正實數 ϵ {\displaystyle \epsilon } ,都存在足夠大的正整數 N ,使得對所有 n ≥ N {\displaystyle n\geq N} ,都有 x n < a + ϵ {\displaystyle x_{n}<a+\epsilon } 。換言之,對任何大於上極限的實數,都存在 N 使得這實數是數列 ( x n ) n ≥ N {\displaystyle (x_{n})_{n\geq N}} 的上界 。
若實數數列 ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} 的下極限為實數,那麼下極限是最大的實數 b ,使得對任意小的正實數 ϵ {\displaystyle \epsilon } ,都存在足夠大的正整數 N ,使得對所有 n ≥ N {\displaystyle n\geq N} ,都有 x n > b − ϵ {\displaystyle x_{n}>b-\epsilon } 。換言之,對任何小於下極限的實數,都存在 N 使得這實數是數列 ( x n ) n ≥ N {\displaystyle (x_{n})_{n\geq N}} 的下界 。
設 ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} 是整數數列。若其上極限為實數 a ,由於 ⌊ a ⌋ {\displaystyle \lfloor a\rfloor } 也符合上述條件,故此 a 必是整數。[註 4] 在條件中取 ϵ < 1 {\displaystyle \epsilon <1} ,得出 a 是最小的實數,使得存在正整數 N ,對所有 n ≥ N {\displaystyle n\geq N} ,都有 x n ≤ a {\displaystyle x_{n}\leq a} 。因此 a 是最大的整數,使得有無限個 x n = a {\displaystyle x_{n}=a} 。同樣地,若其下極限為實數 b ,則 b 是最小的整數,使得有無限個 x n = b {\displaystyle x_{n}=b} 。
若 I = lim inf x n {\displaystyle I=\liminf x_{n}} 和 S = lim sup x n {\displaystyle S=\limsup x_{n}} ,那么区间 [ I , S ] {\displaystyle [I,S]} 不一定包含任何的 x n {\displaystyle x_{n}} ,但是轻微扩大了的 [I-ε,S+ε] 对任意小的ε > 0都会包含除了有限项外所有的 x n 。区间 [I , S ] 是适合这个性质的最小闭区间。
設 x n = ( − 1 ) n ( 1 + 1 n ) {\displaystyle x_{n}=(-1)^{n}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)} ,則 lim inf x n = − 1 {\displaystyle \liminf x_{n}=-1} , lim sup x n = 1 {\displaystyle \limsup x_{n}=1} 。閉區間[-1, 1]中不包含任何 x n {\displaystyle x_{n}} 。 考虑数列 x n = sin n {\displaystyle x_{n}=\sin \!n} 。应用π 的无理数 性质,可以证明 lim inf x n = − 1 {\displaystyle \liminf x_{n}=-1} 和 lim sup x n = + 1 {\displaystyle \limsup x_{n}=+1} 。[註 5] lim inf n → ∞ ( p n + 1 − p n ) {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n})} 其中 p n {\displaystyle {p_{n}}} 是第 n {\displaystyle n} 个素数 。[註 6] 集合 X 的冪集 P (X )是完備格 。对于P (X )中的序列,也就是X 的子集的序列,其上下极限也有用处。
若 X n {\displaystyle X_{n}} 是这样的序列,那么X 的元素a 属于 lim inf X n {\displaystyle \liminf X_{n}} ,当且仅当存在自然数 n 0 {\displaystyle n_{0}} 使得对于所有 n > n 0 {\displaystyle n>n_{0}} ,a 在 X n {\displaystyle X_{n}} 裡。元素a 属于 lim sup X n {\displaystyle \limsup X_{n}} ,当且仅当对所有自然数 n 0 {\displaystyle n_{0}} ,都存在一个指数 n > n 0 {\displaystyle n>n_{0}} 使得a 在 X n {\displaystyle X_{n}} 裡。换句话说, lim sup X n {\displaystyle \limsup X_{n}} 包含了所有这样的元素,其中的每一个,都有无限多个n ,使得它在集合 X n {\displaystyle X_{n}} 裡;而 lim inf X n {\displaystyle \liminf X_{n}} 包含了所有这样的元素,其中的每一个,都有除了有限多个外的所有n ,使得它在 X n {\displaystyle X_{n}} 裡。
以集合论的标准语言来说,一个集合序列的下确界是这些集合的可数交,也就是包含在所有集合裡的最大集合:
inf { X m : m = 1 , 2 , 3 , … } = ⋂ m = 1 ∞ X m {\displaystyle \inf \left\{\,X_{m}:m=1,2,3,\dots \,\right\}={\bigcap _{m=1}^{\infty }}X_{m}} 。 令 I n {\displaystyle I_{n}} 为自 X n {\displaystyle X_{n}} 起的集合的下确界。那么序列 I n {\displaystyle I_{n}} 非递减,因为 I n ⊂ I n + 1 {\displaystyle I_{n}\subset I_{n+1}} 。所以,第1至n 个下确界的并集就是第n 个下确界。下极限就是这序列的极限:
lim inf n → ∞ X n = ⋃ n = 1 ∞ ( ⋂ m = n ∞ X m ) {\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }X_{n}={\bigcup _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)} 。 上极限可以相反方式定义。一个集合序列的上确界是包含这些集合的最小集合,也就是它们的可数并:
sup { X m : m = 1 , 2 , 3 , … } = ⋃ m = 1 ∞ X m {\displaystyle \sup \left\{\,X_{m}:m=1,2,3,\dots \,\right\}={\bigcup _{m=1}^{\infty }}X_{m}} 。 上极限是这个非递增的上确界序列的可数交(其中每个上确界都包含在前一个裡面)。
lim sup n → ∞ X n = ⋂ n = 1 ∞ ( ⋃ m = n ∞ X m ) {\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }X_{n}={\bigcap _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)} 。 例子或应用可见波莱尔-坎泰利引理 ,柯西-阿达马公式 (Cauchy-Hadamard Formula)。
Amann, H.; Escher, Joachim. Analysis. Basel; Boston: Birkhäuser. 2005. ISBN 0817671536 . González, Mario O. Classical complex analysis. New York: M. Dekker. 1991. ISBN 0824784154 .