二阶导数的对称性,也称为混合导数的相等,或杨定理(英語:Young's theorem),指取一个n元函数
![{\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c1aecfa2ea390415dac1aa9b7f6b534c00e8d60)
的偏导数可以交换。如果关于
的偏导数用一个下标
表示,则对称性断言二阶偏导数
满足等式
![{\displaystyle f_{ij}=f_{ji}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/212ed9b9cc86bfba34ae8af510516950917e1fd0)
从而它们组成一个n×n 对称矩阵。
f的二阶偏导数称为f的黑塞矩阵。主对角线之外的元素是混合导数;即关于不同两个变量相继之导数。
在最正常的情形黑塞矩阵实际上是对称矩阵;但从数学分析的观点来看这不是一个安全的论述,在特定一个点除了二阶导数的存在之外还需进一步的假设。克莱罗定理给出了关于f的一个充分条件使其成立。
用符号表示,对称性说,例如
。
这个等式也可写成
。
或者,此对称性可利用微分算子Di写成一个代数论述,Di是关于xi取偏导数:
- Di . Dj = Dj . Di.
由这个关系得知由Di生成的常系数微分算子环是交换的。但须自然地设定这些算子的一个定义域。容易验证对单项式对称性成立,从而我们可取xi的多项式为定义域。事实上光滑函数也行。
在数学分析中,克莱罗定理(Clairaut's theorem)或施瓦兹定理(Schwarz's theorem)[1],以亚历克西·克莱罗与赫尔曼·施瓦兹命名,断言如果
![{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6991fd928a18a993d719e93137af6240a9b6545a)
在
中任何一点
有连续二阶偏导数,则对
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(a_{1},\dots ,a_{n})={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}(a_{1},\dots ,a_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62672772c7724186fa661c67404cfc8eee25b832)
换句话說,这个函数在那一点的偏导数交换。确立这个定理的一个简单方法(当n = 2, i = 1,且j = 2,很容易推到一般)是运用格林定理求f的梯度。
这个定理的一个副产品是克莱罗常数(Clairaut's constant,亦称卡罗拉公式或克莱罗参数),涉及球面大圆上一点的维度与方位角。一个特定大圆等于它在赤道处的方位角,或弧道路,
:
![{\displaystyle \sin({\widehat {\mathrm {A} }})={\Big |}\cos(\phi _{q})\sin({\widehat {\alpha }}_{q}){\Big |}.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97860f949e2cce96cf6595fd84c0072c7952d826)
也可利用分布理论回避有这种对称性的解析问题。首先任何函数的导数(假设可积)可以定义为一个分布。第二分部积分将对称性问题丢给测试函数,这是光滑的当然满足对称性。从而,在分布的意义下,对称性总满足。(另一个方法,若定义了函数的傅立叶变换,注意到在变换中偏导数成为更显然交换的乘法算子)。
当函数不满足克莱洛定理的前提的时候,例如其导数不连续,则不存在对称性。
这个函数
在它的原点没有对称的二阶导数 展示非對稱的一個例子如下:
![{\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {xy(x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}}}&{\mbox{ for }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\mbox{ for }}(x,y)=(0,0).\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99e8f74b81d96588bda2849855cf7836e2718c3e)
尽管这个函数处处连续,但它的代数导函数在原点没有定义。沿着x轴的其他地方y的导数为
,所以
。
反之亦然,沿着y轴的其他地方x的导数为
,所以
。那就是说,在(0,0)处
,尽管f的混合導數存在,且在
之外處處連續。注意到它與克莱罗定理并不矛盾,因為導數在(0,0)不連續。一般地,極限運算的交換未必交換,兩個變量情形下,在(0, 0)附近考慮
![{\displaystyle f(h,k)-f(h,0)-f(0,k)+f(0,0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cc3dda3252f18ed02a6f2c2ea2154d5f4515e7e)
的兩個極限過程,先令h → 0以及先令k → 0。這兩個過程未必交換(參見極限運算的交換):看最先作用的那個一階項。可以構造出二階導數的對稱性不成立的病態例子。若導數作為施瓦茲分布是對稱的,這類例子屬于實分析中的精細理論,逐点值在其中起作用。当看作一个分布的时候,二阶导数值可以在任意点集中的改变,只要Lebesgue测度为
。由于在这个例子中,黑塞矩阵在
外所有点对称,Hessian矩阵看作施瓦茨分布是对称的事实,不存在矛盾。
更高级的一个讨论是这样的:考虑一阶微分算子Di为欧几里得空间中的无穷小算子。即Di在某种意义下生成平行于xi-轴平移的单参数群。显然这些群互相交换,从而我们希望无穷小生成元也交换;李括号
- [Di, Dj] = 0
便是其反映的方式。或者说,一个坐标关于另一个坐标的李导数是零。
- ^ James, R.C.(1966)Advanced Calculus. Belmont, CA, Wadsworth.