初等群論 - 维基百科,自由的百科全书
在數學中,群 <G,*> 定義為集合 G 和叫做“乘積”并指示為中綴 "*" 的 G 上的二元運算。乘積服從下列規則(也叫做公理)。設 a, b 和 c 是 G 的任意元素。則:
- A1, 封閉性。 a*b 在 G 中;
- A2, 結合律。(a*b)*c = a*(b*c);
- A3, 單位元。存在一個 G 中的單位元 e 使得 a*e = e*a = a。 G 的單位元 e 據下述定理 1.4 是唯一性的;
- A4,逆元。對於每個 G 中 a,存在一個 G 中的逆元 x 使得 a*x = x*a = e。a 的逆元 x 據下述定理 1.5 是唯一性的。
阿貝爾群還服從額外的規則:
- A5,交換律。a*b = b*a。
封閉性是二元運算定義的一部分,因此 A1 經常省略。
細節
[编辑]- 群乘積 "*" 不必然是乘法。加法也可以,很多更不標準的運算也行。
- 在 * 是標準運算的時候,我們轉而使用標準符號(比如對加法使用 +)。
- 在 * 是加法或(除了乘法)任何交換運算的時候,0 通常指示單位元,而 -a 指示 a 的逆元。運算總是用非 * 的東西經常為 + 來避免混淆於乘法。
- 在 * 是乘法或非交換運算的時候,a*b 經常寫為 ab。1 通常指示單位元,而a -1 通常指示 a 的逆元。
- 群 <G,*> 經常被稱為“群 G”或簡稱“G”;但是運算 "*" 對于群的描述是基礎性的。
- <G,*> 經常念為“在 * 下的群 G”。在斷定 G 是一個群的時候(比如在定理中),我們說“G 是在 * 下的一個群”。
例子
[编辑]G = {1,-1} 是乘法下的一個群,因為對于所有 G 中的元素 a, b, c:
- A1: a*b 是 G 的一個元素.
- A2: (a*b)*c = a*(b*c) 可以通過枚舉所有 8 種可能(和平凡的)情況來驗證。
- A3: a*1 = a。因為 1 是單位元。
- A4: a-1*a = 1。因此 a-1 指示逆元而單位元 1 是自身的逆元。
整數集 Z 和實數集 R 是在加法 '+' 下的群,對于所有 Z 或者 R 中的元素 a, b 和 c:
- A1: 任何兩個數相加產生同類的另一個數。
- A2: (a+b)+c = a+(b+c)。
- A3: a+0 = a。因此 0 是單位元。
- A4: -a+a = 0。因此 -a 指示逆元而單位元 0 是自身的逆元。
實數集 R 不是乘法 '*' 下的群。對于所有 R 中的 a, b 和 c:
- A3: 單位元是 1。
- A4: 0*a = 0,所以 0 沒有逆元。
實數集去除 0 即 R# 是在乘法 '*' 下的群。
- A1: 任何兩個 R# 的元素相乘產生 R# 的另一個元素。
- A2: (a*b)*c = a*(b*c)。
- A3: a*1 = a。因此 1 指示單位元。
- A4: a -1*a = 1。因此 a -1 指示逆元。
可替代的公理
[编辑]A3 和 A4 可以被替代為:
- A3’,左單位元。存在一個 G 中元素 e 使得對於所有 G 中的 a,e*a = a。
- A4’,左逆元,對於每個 G 中的 a,存在一個 G 中的元素 x 使得 x*a = e。
還可以替代為:
- A3’’,右單位元。存在一個 G 中的 e 使得對於所有 G 中的 a,a*e = a。
- A4’’,右逆元。對於每個 G 中的 a,存在一個 G 中的元素 x 使得 a*x = e。
這些看起來更弱的公理對天然的蘊含於 A3 和 A4 中。我們現在證明逆過來也是真的。
定理: A1 和 A2 ,A3’ 和 A4’ 蘊含 A3 和 A4。
證明。假設給出了左單位元 e 和 G 中的 a,根據 A4’存在一個 x 使得 x*a = e。
我們欲證明的是 a*x = e。 根據 A4’存在 G 中的一個 y 有著:
所以:
e = y * (a * x) (1) = y * (a * (e * x)) (A3') = y * (a * ((x * a) * x)) (A4') = y * (a * (x * (a * x))) (A2) = y * ((a * x) * (a * x)) (A2) = (y * (a * x)) * (a * x) (A2) = e * (a * x) (1) = a * x (A3')
這確立了 A4。
a * e = a * (x * a) (A4) = (a * x) * a (A2) = e * a (A4)
這確立了 A3。
定理: A1 和 A2,A3’’和 A4’’蘊含 A3 和 A4。
證明。類似上述。
基本定理
[编辑]單位元唯一
[编辑]定理 1.4: 群 <G,*> 的單位元是唯一的。
證明: 假設 e 和 f 是 G 的兩個單位元。則
e = e * f (A3) = f (A3')
在討論和比較不同的群的時候,eG 指示特定群 <G,*> 的唯一單位元。
逆元唯一
[编辑]定理 1.5: <G,*> 中每個元素的逆元是唯一的。
證明: 假設 h 和 k 是 G 的元素 g 的兩個逆元。則
h = h * e (A3) = h * (g * k) (A4) = (h * g) * k (A2) = (e * k) (A4) = k (A3)
沒有歧義性的,對於所有 G 中的a,我們指示 a 的唯一逆元為 a -1。
拉丁方陣性質
[编辑]定理 1.3: 對於所有 G 中元素 a,b,存在唯一的 G 中的 x 使得 a*x = b。
證明。的確存在至少一個這種 x,因為如果我們設 x = a -1*b,則 x 在 G 中(通過 A1,閉包)并且:
- a*x = a*(a -1*b) (代換 x)
- a*(a -1*b) = (a*a -1)*b (結合律 A2)。
- (a*a -1)*b = e*b = b. (單位元 A3)。
- 因此總是存在一個 x 滿足 a*x = b。
為了證明這是唯一性的,如果 a*x = b,則
- x = e*x
- e*x = (a -1*a)*x
- (a -1*a)*x = a -1*(a*x)
- a -1*(a*x) = a -1*b
- 因此,x = a -1*b
類似的,對於所有 G 中的 a,b,存在唯一的一個 G 中的 y 使得 y*a = b。
兩次逆換回到起點
[编辑]定理 1.6: 對於所有群 G 中的元素 a,(a -1) -1 = a。
證明。a -1*a = a -1*(a -1) -1=e。(A4)
由定理 1.5知定理1.6成立。
ab的逆元
[编辑]定理 1.7: 對於所有群 G 中元素 a,b,(a*b) -1 = b -1*a -1。
證明。(a*b)*(b -1*a -1) = a*(b*b -1)*a -1 = a*e*a -1 = a*a -1 = e。結論得出自定理 1.4。
消除
[编辑]定理 1.8: 對于所有群 G 中的元素 a,x 和 y,如果 a*x = a*y,則 x = y;并且如果 x*a = y*a,則 x = y。
證明。如果 a*x = a*y 則:
- a -1*(a*x) = a -1*(a*y)
- (a -1*a)*x = (a -1*a)*y
- e*x = e*y
- x = y
如果 x*a = y*a 則
- (x*a)*a -1 = (y*a)*a -1
- x*(a*a -1) = y*(a*a -1)
- x*e = y*e
- x = y
冪
[编辑]對於 和 我們定義:
定理 1.9: 對于所有群 <G,*> 中的 a,:
類似的如果 G 使用了加法符號,我們有:
并且:
階
[编辑]群元素的階
[编辑]群 G 中的元素 a 的階是最小正整數 n 使得 an = e。有些它寫為“o(a)=n”。n 可以是無限的。
定理 1.10: 其非平凡元素都是 2 階的群是阿貝爾群。換句話說,如果所有群 G 中的元素 g 都有 g*g=e 成立,則對於所有 G 中的 a,b,a*b = b*a。
證明 1。設 a, b 是群 G 中任何 2 個元素。 由 公理 A1 可知 (a*b) 是群 G 的元素,所以 (a*b) 是群 G 的 2 階元素
- a*b*a*b = (a*b)*(a*b) = e ...(1) by 公理 A2
- a*b*b*a = a*e*a = a*a= e ...(2) by a,b都是群 G 的 2 階元素
- a*b*b*a = a*b*a*b ...(3) by 式(1),式(2)兩式皆等於e
- b*b*a = b*a*b ...(4) by 定理 1.8
- b*a = a*b ...(5) by 定理 1.8
因為群運算 * 是符合交換律的,這個群是阿貝爾群。
證明 2。設 a, h 是群 G 中任何 2 個元素。通過 A1,a*h 也是 G 的成員。使用給定條件,我們知道 (a*h)*(a*h) = e。因此:
- a*(a*b)*(a*b) = a*e
- a*(a*b)*(a*b)*b = a*e*b
- (a*a)*(b*a)*(b*b) = (a*e)*b
- e*(b*a)*e = a*b
- b*a = a*b。
因為群運算 * 是符合交換律的,這個群是阿貝爾群。
群的階
[编辑]群 G 的階,通常指示為 |G| 或偶爾指示為 o(G),在 <G,*> 是有限群的情況下是集合 G 中元素的數目。如果 G 是無限集合,則群 <G,*> 有等于 G 的勢的階,而且是無限群。
子群
[编辑]G 的子集 H 被稱為群 <G,*> 的子群,如果使用相同的算子 "*",并限制於子集 H 內,H 滿足群公理。因此如果 H 是 <G,*> 的子群,則 <H,*> 也是群,并在限制於 H 內,滿足上述定理。子群 H 的階是 H 中元素的數目。
群 G 的真子群是不同於 G 的子群。G 的非平凡子群(通常)是包含至少一个不是 e 的元素的 G 的真子集。
定理 2.1: 如果 H 是 <G,*> 的子群,則 在 H 中的單位元 eH 同一於 (G,*) 中的單位元 e。
證明。如果 h 在 H 中,則 h*eH = h;因為 h 必定也在 G 中,h*e = h;所以通過定理 1.4,eH = e。
定理 2.2: 如果 H 是 G 的子群,并且 h 是 H 的元素,則 h 在 H 中的逆元同一於 h 在 G 中的逆元。
證明。設 h 和 k 是 H 的元素,使得 h*k = e;因為 h 必定也在 G 中,h*h -1 = e;所以通過定理 1.5,k = h -1。
給定 G 的子集 S,我們經常想要確定 S 是否也是 G 的子群。一個手頭的定理對無限群和有限群都是有效的:
定理 2.3: 如果 S 是 G 的非空子集,則 S 是 G 的子群,當且僅當對於所有 S 中的 a,b,a*b -1 在 S 中。
證明。如果對於所有 S 中的 a, b,a*b -1 在 S 中,則
- e 在 S 中,因為 a*a -1 = e 在 S 中。
- 對於所有 S 中的 a,e*a -1 = a -1 在 S 中。
- 對於所有 S 中的 a, b,a*b = a*(b -1) -1 在 S 中。
因此,滿足了閉包、單位元和逆元公理,而結合律是繼承來的,所以 S 是子群。
反過來說,如果 S 是 G 的子群,則它滿足群公理。
- 如上所述,S 中單位元同一於 G 中的單位元 e。
- 通過 A4,對於所有 S 中的 b,b -1 在 S 中。
- 通過 A1,a*b -1 在 S 中。
兩個或更多個子群的交集也是子群。
定理 2.4: 群 G 的子群的任何非空集合的交集是子群。
證明。設 {Hi} 是 G 的子群的集合,并設 K = ∩{Hi}。通過定理 2.1,e 是所有 Hi 的成員;因此 K 非空。如果 h 和 k 是 K 的兩個元素,則對於所有 i,
- h 和 k 在 Hi 中。
- 通過前面的定理,h*k -1 在 Hi。
- 所以,h*k -1 在 ∩{Hi} 中。
因此對于 K 中的所有 h, k,h*k -1 在 K 中。接著通過前面的定理,K=∩{Hi} 是 G 的子群;并且事實上 K 是每個 Hi 的子群。
給定一個群 <G,*>,定義 x*x 為 x², x*x*x*...*x (n 次)為 xn,并定義 x0 = e。類似的,定義 x -n 為 (x -1)n。則我們有:
定理 2.5: 設 a 是群 (G,*) 的元素。則集合 { an: n 是整數 } 是 G 的子群。
證明。這種類型的子群叫做循環子群;a 的冪的子群經常寫為 <a>,并稱為 a 生成 <a>。
陪集
[编辑]如果 S 和 T 是 G 的子集,并且 a 是 G 的元素,我們寫“a*S”來提及形如 a*s 的所有元素構成的 G 的子集,這里的 s 是 S 的元素;類似的,我們寫“S*a”來指示形如 s*a 的元素的集合。我們寫 S*T 表示形如 s*t 的元素構成的 G 的子集,這里的 s 是 S 的元素而 t 是 T 的元素。
如果 H 是 G 的子群,則 H 對于某個 G 中的 a 的左陪集是集合 a*H。右陪集是集合 H*a。
如果 H 是 G 的子群,則下面陳述而不帶證明的有用定理對所有陪集都成立:
- 如果 x 和 y 是 G 的元素,則要么 x*H = y*H,要么 x*H 和 y*H 有空交集。
- 所有 H 在 G 中的左(右)陪集都包含相同數目的元素。
- G 是 H 的左(右)陪集們的不交并集。
- 那么 H 的不相同的左陪集的數目等于 H 的不相同的右陪集的數目。
定義群 G 的子群 H 的指標(寫為“[G:H]”)為 H 在 G 中不同的左陪集的數目。
從這些定理,我們可以推導出重要的拉格朗日定理,它有關於群的子群的階:
- 拉格朗日定理: 如果 H 是 G 的子群,則 |G| = |H|*[G:H]。
對于有限群,它可以重申為:
- 拉格朗日定理: 如果 H 是有限群 G 的子群,則 H 的階整除 G 的階。
- 如果群 G 的階是素數,G 是循環群。
參見
[编辑]引用
[编辑]- Jordan, C. R and D.A. Groups. Newnes (Elsevier), ISBN 0-340-61045-X
- Scott, W R. Group Theory. Dover Publications, ISBN 0-486-65377-3