勒贝格测度 - 维基百科,自由的百科全书
在测度论中,勒贝格测度(Lebesgue measure)是欧几里得空间上的标准测度。对维数为1,2,3的情况,勒贝格测度就是通常的长度、面积、体积。它广泛应用于实分析,特别是用于定义勒贝格积分。可以赋予勒贝格测度的集合称为勒贝格可测集;勒贝格可测集 A 的测度记作 λ (A) 。一般來說,我們允許一个集合的勒贝格测度为 ∞ ,但是即使如此,在假设选择公理成立时,Rn 仍有勒贝格不可测的子集。不可测集的“奇特”行为导致了巴拿赫-塔斯基悖论这样的命题,它是选择公理的一个结果。
勒贝格测度以法国数学家昂利·勒贝格命名。勒贝格于1901年首次提出这一测度,次年又给出勒贝格积分的定义,并收录进他的学位论文中。
问题起源
[编辑]人们知道,区间的长度可以定义为端点值之差。若干个不交区间的并的长度应当是它们的长度之和。于是人们希望将长度的概念推广到比区间更复杂的集合。
我们想构造一个映射 m ,它能将实数集的子集 E 映射到非负实数 m(E) ,並称这個数为集合 E 的测度。最理想的情况下,m 应该具有以下性质:
- m 对于实数集的所有子集 E 都有定义。
- 对于一个区间 [a, b],m([a, b]) 应当等于其长度 b − a。
- m 具有可数可加性。如果 (En) 是一列不相交的集合,并且 m 在其上有定义,那么 ,其中 ⋃ 表示聯集。
- m 具有平移不变性。設集合 E 及 E+k = {x+k : x ∈ E} (即將 E 的每個元素各加上同一個實數 k 所得到的集合),則 m(E+k) = m(E) 。
遗憾的是,这样的映射是不存在的。人们只能退而求其次,寻找满足其中部分条件的映射。勒贝格测度是满足后三条性质的例子。另一个例子是若尔当测度,它只满足有限可加性。
定义
[编辑]区间的长度定义为。对,勒贝格外测度定义为
对每一列能覆盖的开区间,作长度和。所有这些组成一个有下界的数集,下确界称为勒贝格外测度,记做。
勒贝格测度定义在勒贝格σ代数上。若集合滿足:
- 對所有,皆有
則為勒贝格σ代数的元素,稱為勒貝格可測集。对勒贝格可测集,其勒贝格测度就定義為勒贝格外测度。
不在勒贝格σ代数中的集合不是勒贝格可测的,这样的集合确实存在,故勒贝格σ代数严格包含于的幂集。
例子
[编辑]- 任何区间都是勒贝格可测的。闭区间、开区间的勒贝格测度都等于区间长度。
- 如果 A 是区间 [a, b] 和 [c, d]的笛卡尔积,则它是一个长方形,测度为它的面积 (b−a)(d−c)。
- 博雷尔集都是勒贝格可测的。反之不然,存在不是博雷尔集的勒贝格可测集。
- 可数集的勒贝格测度为0。特别是,有理数集的勒贝格测度为0,尽管有理数集是稠密的。
- 康托尔集是一个勒贝格测度为零的不可数集的例子。
- 假设决定性公理成立,则实数集的所有子集都是勒贝格可测的。假设选择公理成立,则可以构造出勒贝格不可测的集合,例如维塔利集。决定性公理与选择公理是不相容的。
- 奥斯古德曲线(Osgood curve)是平面简单曲线,但具有大于0的勒贝格测度。龙形曲线是另一个例子。
性质
[编辑]設集合 A 与 B 是在 Rn 上的集合。勒贝格测度有如下的性质:
- 如果 A 是一列区间 (In) 的笛卡爾積 ,則 A 是勒贝格可测的,并且 ,其中 | I | 表示区间 I 的长度。
- 如果 A 是有限个或可数个两两互不相交的勒贝格可测集 (En) 的并集,则 A 也是勒贝格可测的,并且 。
- 如果 A 是勒贝格可测的,那么它相对于的补集也是可测的。
- 对于每个勒贝格可测集 A , 。
- 如果 A 與 B 是勒贝格可测的,且 A ⊆ B ,則 。
- 可数多个勒贝格可测集的交集或者并集,仍然是勒贝格可测的。
- 上的博雷爾集(即由開集經可數多次交、並、差運算得到的集合)都是勒贝格可测的。[1][2]
- 勒贝格可测集“几乎”是开集,也“几乎”是闭集。具体来说,是勒贝格可测集当且仅当对任意的存在开集与闭集使得且。此性质曾用来定义勒贝格可测性。(见勒贝格测度的正则性定理)
- 勒贝格测度既是局部有限的,又是内正则的,所以是拉东测度。
- 非空开集的勒贝格测度严格大于0,所以勒贝格测度的支集是全空间。
- 如果 A 是勒贝格零测集,即 ,则 A 的任何一个子集也是勒贝格零测集。
- 如果 A 是勒贝格可测的,且 B = {x+k : x ∈ A} (即將 A 平移 k 個單位),則 B 也是勒贝格可测的,并且 。
- 如果 A 是勒贝格可测的,且 B = {kx : x ∈ A} (即將 A 縮放 k 倍,),則 B 也是勒贝格可测的,并且 。
- 更一般地,设 T 是一个线性变换,det(T) 為其行列式。如果 A 是勒贝格可测的,则 T(A) 也是勒贝格可测的,并且 。
- 設 f 是一个從 A 到上的连续单射函数。如果 A 是勒贝格可测的,则 f(A) 也是勒贝格可测的。
简要地说,的勒贝格可测子集组成一个包含所有区间的笛卡尔积的σ-代数,且 λ 是其上唯一的完备的、平移不变的、满足 的测度。
勒贝格测度是σ-有限测度。
零测集
[编辑]的子集 A 是零测集,如果对于任意,A 都可以用可数多个盒(即 n 個区间的乘积)来覆盖,且其总体积最多为。所有可数集都是零测集。
如果的子集的豪斯多夫维数小于,那么它是关于维勒贝格测度的零测集。在这里,豪斯多夫维数是相对于上的欧几里得度量(或任何与其利普希茨等价的度量)而言。另一方面,一个集合可能拓扑维数小于,但具有正的维勒贝格测度。一个这样的例子是史密斯-沃尔泰拉-康托尔集,它的拓扑维数为0,但1维勒贝格测度为正数。
为了证明某个集合A是勒贝格可测的,我们通常尝试寻找一个“较好”的集合B,与A 的对称差是零测集,然后证明B可以用开集或闭集的可数交集和并集生成。
勒贝格测度的构造
[编辑]勒贝格测度的现代構造基于外测度[3],并应用卡拉西奥多里扩张定理。
固定中的盒子是形如的集合,其中,连乘号代表笛卡尔积。盒子的体积定义为
对于的任何子集A,可以定义它的外测度
- 是可数个盒子的集合,它们的并集覆盖了
然后定义集合A为勒贝格可测的,如果对于所有集合,都有:
这些勒贝格可测的集合形成了一个σ代数。对于任何勒贝格可测的集合A, 其勒贝格测度定义为
勒贝格不可测集合的存在性是选择公理的结果。根据维塔利定理,存在实数R的一个勒贝格不可测的子集。如果A是的子集,且其测度为正,那么A便有勒贝格不可测的子集。
1970年,Robert M. Solovay证明了,在不带选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论中,勒贝格不可测集的存在性是不可证的(见Solovay模型)。
与其他测度的关系
[编辑]若 A 博雷尔可測,則其博雷爾測度与勒贝格测度一致;然而,更多的勒贝格可测集是博雷尔不可测的。博雷尔测度是平移不变的,但不是完备的。
哈尔测度可以定义在任何局部紧群上,是勒贝格测度的一个推广(带有加法的是一个局部紧群)。
豪斯多夫测度(参见豪斯多夫维数)是勒贝格测度的一个推广,对于测量的维数比n低的子集是很有用的,例如R³上的曲线、曲面,以及分形集合。注意不能把豪斯多夫测度与豪斯多夫维数混淆。
可以证明,無法在无穷维空间上定義类似的勒贝格测度。
参看
[编辑]- 勒贝格密度定理
- 刘维尔数集的勒贝格测度
參考文獻
[编辑]- ^ Asaf Karagila. What sets are Lebesgue-measurable?. math stack exchange. [26 September 2015].
- ^ Asaf Karagila. Is there a sigma-algebra on R strictly between the Borel and Lebesgue algebras?. math stack exchange. [26 September 2015].
- ^ Royden, H.L. Real analysis 3rd. New York: Macmillan. 1988: 56. ISBN 978-0024041517.