博赫纳积分 - 维基百科,自由的百科全书
在数学中,以萨洛蒙·博赫纳命名的博赫纳积分(英語:Bochner integral)作为简单函数积分的极限,将勒贝格积分的定义推广到在巴拿赫空间中取值的函数。
定义
[编辑]令(X, Σ, μ)为测度空间,B为巴拿赫空间。博赫纳积分以与勒贝格积分相同的方式定义。首先,简单函数是任意如下形式的有限和
其中E是iσ-代数Σ的不相交元素,bi是B的不同元素,而χE是E的指示函数。如果μ(Ei)每当bi ≠ 0时有限,则简单函数是可积的,积分如下定义
与普通勒贝格积分完全相同。
可测量函数ƒ:X→B是博赫纳可积的,如果存在一列可积的简单函数sn满足
- ,
其中左边的积分是普通勒贝格积分。
在这种情形下,博赫纳积分定义为
- 。
可以证明,函数是博赫纳可积的当且仅当它位于博赫纳空间 。
参见
[编辑]参考文献
[编辑]- Bochner, Salomon, Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vektorraumes sind (PDF), Fundamenta Mathematicae, 1933, 20: 262–276 [2017-02-17], (原始内容存档 (PDF)于2018-07-21)
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- Sobolev, V. I., Bochner integral, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
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