卡方分布 概率密度函數 ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Chi-square_distributionPDF.png/325px-Chi-square_distributionPDF.png) |
累積分布函數 ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cb/Chi-square_distributionCDF.png/325px-Chi-square_distributionCDF.png) |
参数 | 自由度 |
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值域 | , |
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概率密度函数 | ![{\displaystyle {\frac {1}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\;x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/846f8111d6b4bae031edd73522f5a55437e5bb2c) |
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累積分布函數 | ![{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\;\gamma \left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29be6d36250f57f007ebff550b9b49a7f412f94d) |
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期望值 | ![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40) |
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中位數 | ![{\displaystyle \approx k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0d9d3cbb5fdbb1ad7c4642e6bca9cac449b553a) |
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眾數 | max{ k − 2, 0 } |
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方差 | ![{\displaystyle 2k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab358eb7defb4d2b0fc1f9e8a4e2d189fe600eb6) |
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偏度 | ![{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {8/k}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b153b226deb8255bbe12704015a73bb6610aa187) |
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峰度 | ![{\displaystyle 12/k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a69c8e818cdc83079cc238bc28c4c04675d087d4) |
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熵 | ![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {k}{2}}&+\ln(2\Gamma (k/2))\\&\!+(1-k/2)\psi (k/2)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c8a0590a94767ed01049fd2a9f9b65192999829) |
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矩生成函数 | ,![{\displaystyle 2\,t<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bcf126ab3972e8f5e00b957964923f812738ef2) |
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特徵函数 | [1] |
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卡方分布(英語:chi-square distribution[2], χ²-distribution,或寫作χ²分布)是概率论与统计学中常用的一种概率分布。k个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k的卡方分布。卡方分布是一种特殊的伽玛分布,是統計推論中应用最为广泛的概率分布之一,例如假說檢定和置信区间的计算。
由卡方分布延伸出來皮爾森卡方檢定常用于:
- 樣本某性質的比例分布與母體理論分布的拟合优度(例如某行政機關男女比是否符合該機關所在城鎮的男女比);
- 同一母體的兩個随机变量是否独立(例如人的身高與交通違規的關聯性);
- 二或多個母體同一屬性的同質性檢定(義大利麵店和壽司店的營業額有沒有差距)。(詳見皮爾森卡方檢定)
若k个随机变量
、……、
是相互独立且符合标准正态分布的随机变量(数学期望为0、方差为1),则随机变量Z的平方和
![{\displaystyle X=\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5248fb0830a7e66ab3075b6a694d962b1468b5f7)
被称为服从自由度为 k 的卡方分布,记作
![{\displaystyle X\ \sim \ \chi ^{2}(k)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7674f8f53c0f1a36bf753fba2ae52fe8160d9f5c)
![{\displaystyle \ X\ \sim \ \chi _{k}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d984cc4b04e09948ab6334deb9d2f54050bc64b)
可以在文章右上角的表中看到更多卡方分布的性质。
卡方分布的概率密度函数为:
![{\displaystyle f_{k}(x)={\frac {1}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma ({\frac {k}{2}})}}x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{\frac {-x}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1cf7ec6e88df8a9501490e85e76040fd2a51dda)
其中
,当
时
。这里Γ代表Gamma函数。
卡方分布的累积分布函数为:
,
其中γ(k,z)为不完全Γ函数
在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。此外许多表格计算软件如OpenOffice.org Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函数。
自由度为k的卡方变量的平均值是k,方差是2k。 卡方分布是伽玛分布的一个特例,它的熵为:
![{\displaystyle H=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ln(f(x))dx={\frac {k}{2}}+\ln \left(2\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)\right)+\left(1-{\frac {k}{2}}\right)\psi (k/2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7b00a2611c938a63f179db608405c7adfe073f3)
其中
是雙伽瑪函數。
當Gamma變數 頻率(λ)為1/2時,α的2倍為卡方變數之自由度。 即:
![{\displaystyle r.v.Y=\chi ^{2}\left(U\right)=\Gamma \left(\alpha ={\frac {U}{2}},\lambda ={\frac {1}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a7675e7364edf25e2584e5541e7823b5830f9f2)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left(\chi ^{2}\left(U\right)\right)=\operatorname {E} \left(Y\right)={\frac {\alpha }{\lambda }}={\frac {\frac {U}{2}}{\frac {1}{2}}}=U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6658b3b9cb61817574167b9cd8fe8b9562c66619)
![{\displaystyle \operatorname {Var} \left(\chi ^{2}\left(U\right)\right)=\operatorname {Var} \left(Y\right)={\frac {\alpha }{\lambda ^{2}}}={\frac {\frac {U}{2}}{\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}}=2U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14098510d186dfd4794737ff5d68ba373d303b18)
卡方變數之期望值=自由度 卡方變數之方差=两倍自由度
由定义可得,独立卡方变量之和同样服从卡方分布。特别地,若
分别独立服从自由度为
的卡方分布,那么它们的和
服从自由度为
的卡方分布。
若k个随机变量
、……、
是相互独立,符合标准正态分布的随机变量,则它们与均值之间偏差的平方和
其中均值
它的平方正比于自由度为1的卡方分布,即
p-value = 1- p_CDF.
χ2越大,p-value越小,則可信度越高。通常用p=0.05作为閾值,即95%的可信度。
常用的χ2与p-value表如下:
自由度k \ P value (概率) | 0.95 | 0.90 | 0.80 | 0.70 | 0.50 | 0.30 | 0.20 | 0.10 | 0.05 | 0.01 | 0.001 |
1 | 0.004 | 0.02 | 0.06 | 0.15 | 0.46 | 1.07 | 1.64 | 2.71 | 3.84 | 6.64 | 10.83 |
2 | 0.10 | 0.21 | 0.45 | 0.71 | 1.39 | 2.41 | 3.22 | 4.60 | 5.99 | 9.21 | 13.82 |
3 | 0.35 | 0.58 | 1.01 | 1.42 | 2.37 | 3.66 | 4.64 | 6.25 | 7.82 | 11.34 | 16.27 |
4 | 0.71 | 1.06 | 1.65 | 2.20 | 3.36 | 4.88 | 5.99 | 7.78 | 9.49 | 13.28 | 18.47 |
5 | 1.14 | 1.61 | 2.34 | 3.00 | 4.35 | 6.06 | 7.29 | 9.24 | 11.07 | 15.09 | 20.52 |
6 | 1.63 | 2.20 | 3.07 | 3.83 | 5.35 | 7.23 | 8.56 | 10.64 | 12.59 | 16.81 | 22.46 |
7 | 2.17 | 2.83 | 3.82 | 4.67 | 6.35 | 8.38 | 9.80 | 12.02 | 14.07 | 18.48 | 24.32 |
8 | 2.73 | 3.49 | 4.59 | 5.53 | 7.34 | 9.52 | 11.03 | 13.36 | 15.51 | 20.09 | 26.12 |
9 | 3.32 | 4.17 | 5.38 | 6.39 | 8.34 | 10.66 | 12.24 | 14.68 | 16.92 | 21.67 | 27.88 |
10 | 3.94 | 4.86 | 6.18 | 7.27 | 9.34 | 11.78 | 13.44 | 15.99 | 18.31 | 23.21 | 29.59 |