在數學中,同倫群是拓撲空間的一種同倫不變量。同倫群的研究是同倫理論的基石之一,一般空間的同倫群極難計算,即使對球面
的情形,至今也沒有完整結果。
設
為拓撲空間而
為
維球面。選定基點
。定義
為
,也就是由保持基點的連續映射
的同倫類構成的集合。為了方便起見,以緯垂坐標表示球面上的點,即:
表示
在商映射
下的像。取
的基點為
。
注意到當
時,
而
的元素一一對應到
的連通分支。
基本群的群運算 對於
,
帶有自然的群結構:首先,我們構造一個連續映射:
![{\displaystyle s:S^{n}\to S^{n}\vee S^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46b0a2c9d97c1a01b1370760788280cb2525ad31)
在此
定義為將兩份
沿基點黏合得到的拓撲空間。映射
定義為
![{\displaystyle s(x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{n})={\begin{cases}x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{n-1}\wedge (1-2x_{n}),&x_{n}\leq {\frac {1}{2}}\\x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{n-1}\wedge (2x_{n}-1),&x_{n}\geq {\frac {1}{2}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85207c9eaa91c4f632b74c67b21694c5db45569d)
直觀來看,
的效應相當於將球面
沿赤道掐扁。
給定
,我們定義
,由於
,此函數有完善的定義。此外也不難驗證
僅依賴於
的同倫類。
可以證明運算
滿足群公理,其單位元素為常值映射
。
不外就是基本群;而當
時,
是阿貝爾群,稱為高階同倫群。不同基點對應的同倫群只差一個自然同構。
若在定義中省掉基點,則得到的集合
等同於
在
作用下的軌道集。可見若
,
未必有自然的群結構。
設
為保基點的塞爾纖維化,纖維的同倫類定義為
。此時可導出同倫群的長正合序列(以下略去基點):
![{\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(E)\to \pi _{n}(B)\to \pi _{n-1}(F)\to \cdots \to \pi _{0}(E)\to \pi (B)\to 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e084f193d9fa13aac941ab0937f50578ef454216)
儘管這裡的
只是個集合,而
未必是阿貝爾群,它們仍帶有特殊的元素(
的單位元、
中包含基點的連通分支),可以用這些元素定義正合序列。
纖維化映射是計算高階同倫群的基本手段。
給定
,可以定義相對同倫群
為映射
的同倫類,這意味著我們僅考慮滿足
的連續映射,以及其間滿足相同限制的同倫。若取
為一點,便回到同倫群的原始定義。相對同倫群也有纖維化長正合序列。