圓錐坐標系 - 维基百科，自由的百科全书

圓錐坐標系（英語：Conical coordinates）是一種三維正交坐標系。它的三個坐標曲面分別為同心圓球面，錐軸為 x-軸的圓錐面，錐軸為 z-軸的圓錐面。

圓錐坐標 ${\displaystyle (r,\ \mu ,\ \nu )}$ 通常定義為

${\displaystyle x={\frac {r\mu \nu }{bc}}}$ 、

${\displaystyle y={\frac {r}{b}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-b^{2}\right)\left(\nu ^{2}-b^{2}\right)}{\left(b^{2}-c^{2}\right)}}}}$ 、

${\displaystyle z={\frac {r}{c}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-c^{2}\right)\left(\nu ^{2}-c^{2}\right)}{\left(c^{2}-b^{2}\right)}}}}$ ；

其中，${\displaystyle 0\leq r<\inf }$ ，${\displaystyle \nu ^{2}<c^{2}<\mu ^{2}<b^{2}}$ 。

${\displaystyle r}$ 坐標曲面是圓心在原點的圓球面：

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}}$ 。

${\displaystyle \mu }$ 與 ${\displaystyle \nu }$ 坐標曲面是兩個相交的圓錐面：

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\mu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\mu ^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\mu ^{2}-c^{2}}}=0}$ 、

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\nu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\nu ^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\nu ^{2}-c^{2}}}=0}$ 。

如同球坐標系，徑向坐標 ${\displaystyle r}$ 的標度因子是

${\displaystyle h_{r}=1}$ 。

坐標${\displaystyle \mu }$ 與 ${\displaystyle \nu }$ 的標度因子分別是

${\displaystyle h_{\mu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2}}{\left(b^{2}-\mu ^{2}\right)\left(\mu ^{2}-c^{2}\right)}}}}$ 、

${\displaystyle h_{\nu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2}}{\left(b^{2}-\nu ^{2}\right)\left(c^{2}-\nu ^{2}\right)}}}}$ 。

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