複底数进制 是指底數 為虛數 或複數 的进位制 系統。 其中，底數為虛數 的进位制系統最早由高德纳 於1955年提出[ 1] [ 2] 複數 的进位制系統於1964年由所羅門·I·赫梅利尼克（Solomon I. Khmelnik）[ 3] [ 4] [ 5] [ 6]
令 D {\displaystyle D} 整环 ⊂ C {\displaystyle \subset \mathbb {C} } | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} （阿基米德）绝对赋值 。
數 X ∈ D {\displaystyle X\in D} 进位制 系統中可以表示為：
X = ± ∑ ν x ν ρ ν , {\displaystyle X=\pm \sum _{\nu }^{}x_{\nu }\rho ^{\nu },} 其中
ρ ∈ D {\displaystyle \rho \in D} 為底數 ，並滿足 | ρ | > 1 {\displaystyle |\rho |>1} ν ∈ Z {\displaystyle \nu \in \mathbb {Z} } 是指數 ，代表各個位數， x ν {\displaystyle x_{\nu }} 是进制中每個位數，來自有限的位數數碼集合 Z ⊂ D {\displaystyle Z\subset D} | x ν | < | ρ | . {\displaystyle |x_{\nu }|<|\rho |.}
其势 R := | Z | {\displaystyle R:=|Z|}
进位制 系統或編碼系統 是一對二元組：
⟨ ρ , Z ⟩ {\displaystyle \left\langle \rho ,Z\right\rangle } 包括了其底數 ρ {\displaystyle \rho } Z {\displaystyle Z} R {\displaystyle R}
Z R := { 0 , 1 , 2 , … , R − 1 } . {\displaystyle Z_{R}:=\{0,1,2,\dotsc ,{R-1}\}.} 理想的进位制 系統或編碼系統 具有以下特性：
任何在环 D {\displaystyle D} Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 高斯整數 Z [ i ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\mathrm {i} ]} Z [ − 1 + i 7 2 ] {\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\tfrac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{2}}\right]} 正負號 ±。 任何在分式環 K := Quot ( D ) {\displaystyle K:=\operatorname {Quot} (D)} 完備化 （ | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} 度量 的意義下）所得的 K := R {\displaystyle K:=\mathbb {R} } K := C {\displaystyle K:=\mathbb {C} } | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} ν → − ∞ {\displaystyle \nu \to -\infty } X {\displaystyle X} 测度 為0。後者要求集合 Z {\displaystyle Z} R = | ρ | {\displaystyle R=|\rho |} R = | ρ | 2 {\displaystyle R=|\rho |^{2}} 在這種表示法中，一般常見的標準十进制 表示為：
⟨ 10 , Z 10 ⟩ , {\displaystyle \left\langle 10,Z_{10}\right\rangle ,} 標準二进制 系統表示為：
⟨ 2 , Z 2 ⟩ , {\displaystyle \left\langle 2,Z_{2}\right\rangle ,} 負二进制系統表示為：
⟨ − 2 , Z 2 ⟩ , {\displaystyle \left\langle -2,Z_{2}\right\rangle ,} 平衡三進位 系統表示為[ 2]
⟨ 3 , { − 1 , 0 , 1 } ⟩ . {\displaystyle \left\langle 3,\{-1,0,1\}\right\rangle .} 上述這幾個进位制 系統在 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } R {\displaystyle \mathbb {R} }
較廣為人知的複底数进位制 系統包括下列幾個进位制系統（其中 i {\displaystyle \mathrm {i} } 虛數單位 ）：
⟨ R , Z R ⟩ {\displaystyle \left\langle {\sqrt {R}},Z_{R}\right\rangle } ⟨ ± i 2 , Z 2 ⟩ {\displaystyle \left\langle \pm \mathrm {i} {\sqrt {2}},Z_{2}\right\rangle } [ 1] i 2 {\displaystyle \mathrm {i} {\sqrt {2}}} ⟨ ± 2 i , Z 4 ⟩ {\displaystyle \left\langle \pm 2\mathrm {i} ,Z_{4}\right\rangle } [ 2] 2i进制 ，由高德纳 於1995年提出。 ⟨ 2 e ± π 2 i = ± i 2 , Z 2 ⟩ {\displaystyle \left\langle {\sqrt {2}}e^{\pm {\tfrac {\pi }{2}}\mathrm {i} }=\pm \mathrm {i} {\sqrt {2}},Z_{2}\right\rangle } ⟨ 2 e ± 3 π 4 i = − 1 ± i , Z 2 ⟩ {\displaystyle \left\langle {\sqrt {2}}e^{\pm {\tfrac {3\pi }{4}}\mathrm {i} }=-1\pm \mathrm {i} ,Z_{2}\right\rangle } [ 3] [ 5] −1 ± i ⟨ R e i φ , Z R ⟩ {\displaystyle \left\langle {\sqrt {R}}e^{\mathrm {i} \varphi },Z_{R}\right\rangle } φ = ± arccos ( − β / ( 2 R ) ) {\displaystyle \varphi =\pm \arccos {(-\beta /(2{\sqrt {R}}))}} β < min ( R , 2 R ) {\displaystyle \beta <\min(R,2{\sqrt {R}})} β {\displaystyle \beta _{}^{}} R {\displaystyle R} [ 7] β = 1 {\displaystyle \beta =1} R = 2 {\displaystyle R=2} ⟨ − 1 + i 7 2 , Z 2 ⟩ {\displaystyle \left\langle {\tfrac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{2}},Z_{2}\right\rangle } − 1 + i 7 2 {\displaystyle {\tfrac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{2}}} ⟨ 2 e π 3 i , A 4 := { 0 , 1 , e 2 π 3 i , e − 2 π 3 i } ⟩ {\displaystyle \left\langle 2e^{{\tfrac {\pi }{3}}\mathrm {i} },A_{4}:=\left\{0,1,e^{{\tfrac {2\pi }{3}}\mathrm {i} },e^{-{\tfrac {2\pi }{3}}\mathrm {i} }\right\}\right\rangle } [ 8] ⟨ − R , A R 2 ⟩ {\displaystyle \left\langle -R,A_{R}^{2}\right\rangle } A R 2 {\displaystyle A_{R}^{2}} r ν = α ν 1 + α ν 2 i {\displaystyle r_{\nu }=\alpha _{\nu }^{1}+\alpha _{\nu }^{2}\mathrm {i} } α ν ∈ Z R {\displaystyle \alpha _{\nu }^{}\in Z_{R}} ⟨ − 2 , { 0 , 1 , i , 1 + i } ⟩ {\displaystyle \left\langle -2,\{0,1,\mathrm {i} ,1+\mathrm {i} \}\right\rangle } [ 8] ⟨ ρ = ρ 2 , Z 2 ⟩ {\displaystyle \left\langle \rho =\rho _{2},Z_{2}\right\rangle } ρ 2 = { ( − 2 ) ν 2 if ν even, ( − 2 ) ν − 1 2 i if ν odd. {\displaystyle \rho _{2}={\begin{cases}(-2)^{\tfrac {\nu }{2}}&{\text{if }}\nu {\text{ even,}}\\(-2)^{\tfrac {\nu -1}{2}}\mathrm {i} &{\text{if }}\nu {\text{ odd.}}\end{cases}}} [ 9] 複數 的二元系統是僅使用兩個數碼 ——0和1的进位制 系統，即位數數碼集合為 Z 2 = { 0 , 1 } {\displaystyle Z_{2}=\{0,1\}} 进位制 系統，這類記數系統 具有較實際的用途[ 9] ⟨ ρ , Z 2 ⟩ {\displaystyle \langle \rho ,Z_{2}\rangle } 进位制 系統（皆為上述进位制 系統的特例），並用其表達−1, 2, −2, i 二进制 （下表的第一列）和「負二进制」（下表的第二列）供比較。這兩個进位制無法真正地表達出虛數單位i
部分的进位制 系統和一些數的表達[ 10] 底數 –1 ← 2 ← –2 ← i 多種表示形式的數 2 −1 10 −10 i 1 ← 0.1 = 1.0 –2 11 110 10 i 1 / 3 0.01 = 1.10 i 2 {\displaystyle \mathrm {i} {\sqrt {2}}} 101 10100 100 10.101010100...[ 註 1] 1 3 + 1 3 i 2 {\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\mathrm {i} {\sqrt {2}}} 0.0011 = 11.1100 − 1 + i 7 2 {\displaystyle {\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{2}}} 111 1010 110 11.110001100...[ 註 1] 3 + i 7 4 {\displaystyle {\frac {3+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{4}}} 1.011 = 11.101 = 11100.110 ρ 2 {\displaystyle \rho _{2}} 101 10100 100 10 1 / 3 1 / 3 i 0.0011 = 11.1100 –1+i 11101 1100 11100 11 1 / 5 3 / 5 i 0.010 = 11.001 = 1110.100 2i 103 2 102 10.2 1 / 5 2 / 5 i 0.0033 = 1.3003 = 10.0330 = 11.3300
與所有具有阿基米德绝对赋值 的进位制 系統一樣，有些數字具有多種表示形式。此類數字的範例顯示在表格的右欄中。這些數都是循環小數，其循環節以上標水平線標記。
若要將一高斯整數 z {\displaystyle z} b {\displaystyle b} 底數 的进位制 ⟨ b , Z R ⟩ {\displaystyle \left\langle b,Z_{R}\right\rangle } 數 分成一個可被底數整除的高斯整數和一個位於位數數碼集合內的數，並將可被底數整除的高斯整數部分除以底數當作商，位於位數數碼集合內的數當作餘數，並用商數繼續計算，並重複以上步驟，直到商為零，一系列的餘數部分即為轉換完成的結果。[ 11] :41
z = q 1 b + a 0 {\displaystyle z_{\,}=q_{1}b+a_{0}} q 1 = q 2 b + a 1 {\displaystyle q_{1}=q_{2}b+a_{1}} q 2 = q 3 b + a 2 {\displaystyle q_{2}=q_{3}b+a_{2}} ⋮ {\displaystyle \quad \quad \vdots } q t = 0 b + a t {\displaystyle q_{t}=0_{\,}b+a_{t}} 其中， q 1 {\displaystyle q_{1}} q 2 {\displaystyle q_{2}} q 3 {\displaystyle q_{3}} q t {\displaystyle q_{t}} a 1 {\displaystyle a_{1}} a 2 {\displaystyle a_{2}} a 3 {\displaystyle a_{3}} a t {\displaystyle a_{t}}
則 z = ( a t ⋯ a 2 a 1 a 0 ) b {\displaystyle z=\left(a_{t}\cdots a_{2}a_{1}a_{0}\right)_{b}}
以5+12i轉換成-2+i进制（ ⟨ − 2 + i , { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } ⟩ {\displaystyle \left\langle -2+\mathrm {i} ,\{0,1,2,3,4\}\right\rangle } [ 11] :42
5 + 12 i {\displaystyle 5+12\mathrm {i} } = {\displaystyle =} ( 2 − 5 i ) ( − 2 + i ) + 4 {\displaystyle \left(2-5\mathrm {i} \right)\left(-2+\mathrm {i} \right)+4} 2 − 5 i {\displaystyle 2-5\mathrm {i} } = {\displaystyle =} ( − 1 + 2 i ) ( − 2 + i ) + 2 {\displaystyle \left(-1+2\mathrm {i} \right)\left(-2+\mathrm {i} \right)+2} − 1 + 2 i {\displaystyle -1+2\mathrm {i} } = {\displaystyle =} ( 2 ) ( − 2 + i ) + 3 {\displaystyle \left(2\right)\left(-2+\mathrm {i} \right)+3} 2 {\displaystyle 2} = {\displaystyle =} ( 0 ) ( − 2 + i ) + 2 {\displaystyle \left(0\right)\left(-2+\mathrm {i} \right)+2}
故5+12i(10) 轉換成-2+i进制為2324(−2+i) 。
在−1+i 較常被討論的複底数进制是2i进制 和−1 ± i −1 + i −1 − i 高斯整數 。
−1 ± i [ 3] [ 4] [ 6]
−1±i 十進制 二進制 2i進制 −1+i −1−i 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 10 2 1100 1100 −1 −1 103 11101 11101 −2 −10 102 11100 11100 i i 10.2 11 111 2i 10i 10 1110100 100 3i 11i 20.2 1110111 110011 −i −i 0.2 111 11 −2i −10i 1030 100 1110100 −3i −11i 1030.2 110011 1110111 1+i 1+i 11.2 1110 111010 1−i 1−i 1.2 111010 1110 −1+i −1+i 113.2 10 110 −1−i −1−i 103.2 110 10
整數的捨入區域——即在這系統表達之下，共用整數部分的複數（非整數）集合 S {\displaystyle S} 分形 ：twindragon。根據定義，集合 S {\displaystyle S} ∑ k ≥ 1 x k ( i − 1 ) − k {\displaystyle \textstyle \sum _{k\geq 1}x_{k}(\mathrm {i} -1)^{-k}} x k ∈ Z 2 {\displaystyle x_{k}\in Z_{2}} S {\displaystyle S} 1 4 S {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}S} S {\displaystyle S} 1 2 S {\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S} ( i − 1 ) S = S ∪ ( S + 1 ) {\displaystyle (\mathrm {i} -1)S=S\cup (S+1)} 2 15 ← 0. 00001100 ¯ {\displaystyle {\tfrac {2}{15}}\gets 0.{\overline {00001100}}} 1 15 i ← 0. 00000011 ¯ {\displaystyle {\tfrac {1}{15}}\mathrm {i} \gets 0.{\overline {00000011}}} − 8 15 ← 0. 11000000 ¯ {\displaystyle -{\tfrac {8}{15}}\gets 0.{\overline {11000000}}} − 4 15 i ← 0. 00110000 ¯ {\displaystyle -{\tfrac {4}{15}}\mathrm {i} \gets 0.{\overline {00110000}}} 1 / 15 [ 2] :206 。
由此，複矩形
[ − 8 15 , 2 15 ] × [ − 4 15 , 1 15 ] i {\displaystyle [-{\tfrac {8}{15}},{\tfrac {2}{15}}]\times [-{\tfrac {4}{15}},{\tfrac {1}{15}}]\mathrm {i} } 透過单射
∑ k ≥ 1 x k ( i − 1 ) − k ↦ ∑ k ≥ 1 x k b − k {\displaystyle \textstyle \sum _{k\geq 1}x_{k}(\mathrm {i} -1)^{-k}\mapsto \sum _{k\geq 1}x_{k}b^{-k}} 映入實數區間 [ 0 , 1 ) {\displaystyle [0,1)} b > 2 {\displaystyle b>2} [ 註 2]
此外，還有兩個映射
Z 2 N → S ( x k ) k ∈ N ↦ ∑ k ≥ 1 x k ( i − 1 ) − k {\displaystyle {\begin{array}{lll}Z_{2}^{\mathbb {N} }&\to &S\\\left(x_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }&\mapsto &\sum _{k\geq 1}x_{k}(\mathrm {i} -1)^{-k}\end{array}}} 和
Z 2 N → [ 0 , 1 ) ( x k ) k ∈ N ↦ ∑ k ≥ 1 x k 2 − k {\displaystyle {\begin{array}{lll}Z_{2}^{\mathbb {N} }&\to &[0,1)\\\left(x_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }&\mapsto &\sum _{k\geq 1}x_{k}2^{-k}\end{array}}} 兩者皆满射 ，也就是產生了一個滿射（空間填充）的映射
[ 0 , 1 ) → S {\displaystyle [0,1)\qquad \to \qquad S} 然而，其並不連續，因此不是空間填充曲線。但是一個類似的曲線——戴維斯-高德納龍（Davis-Knuth dragon），是連續的空間填充曲線。
^ 1.0 1.1 無限不循環小數 ^ 不能取底數 b = 2 {\displaystyle b=2} 2 − 1 = 0.1 bin = 0.5 dec {\displaystyle \textstyle 2^{-1}=0.1_{\text{bin}}=0.5_{\text{dec}}} ∑ k ≥ 2 2 − k = 0.0 1 ¯ bin = 0.1 bin = 0.5 dec {\displaystyle \textstyle \sum _{k\geq 2}2^{-k}=0.0{\overline {1}}_{\text{bin}}=0.1_{\text{bin}}=0.5_{\text{dec}}} ( i − 1 ) − 1 = − 0.1 bin − 0.1 bin i = − 0.5 dec − 0.5 dec i {\displaystyle \textstyle (\mathrm {i} -1)^{-1}=-0.1_{\text{bin}}-0.1_{\text{bin}}\mathrm {i} =-0.5_{\text{dec}}-0.5_{\text{dec}}\mathrm {i} } ∑ k ≥ 2 ( i − 1 ) − k = 0.1 dec + 0.3 dec i {\displaystyle \textstyle \sum _{k\geq 2}(\mathrm {i} -1)^{-k}=0.1_{\text{dec}}+0.3_{\text{dec}}\mathrm {i} } ^ 1.0 1.1 Knuth, D.E. An Imaginary Number System. Communications of the ACM. 1960, 3 (4): 245–247. S2CID 16513137 doi:10.1145/367177.367233 ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 Knuth, Donald . Positional Number Systems. The art of computer programming 2 3rd. Boston: Addison-Wesley. 1998: 205. ISBN 0-201-89684-2OCLC 48246681 ^ 3.0 3.1 3.2 Khmelnik, S.I. Specialized digital computer for operations with complex numbers. Questions of Radio Electronics (In Russian). 1964, XII (2). ^ 4.0 4.1 W. Penney, A "binary" system for complex numbers, JACM 12 (1965) 247-248. ^ 5.0 5.1 Jamil, T. The complex binary number system. IEEE Potentials. 2002, 20 (5): 39–41. doi:10.1109/45.983342 ^ 6.0 6.1 Duda, Jarek. Complex base numeral systems. 2008-02-24. arXiv:0712.1309 math.DS ]. ^ Khmelnik, S.I. Positional coding of complex numbers. Questions of Radio Electronics (In Russian). 1966, XII (9). ^ 8.0 8.1 Khmelnik, S.I. Coding of Complex Numbers and Vectors (in Russian) (PDF) . Israel: Mathematics in Computer. 2004 [2022-11-03 ] . ISBN 978-0-557-74692-7存档 (PDF) 于2022-11-10）. ^ 9.0 9.1 Khmelnik, S.I. Method and system for processing complex numbers . Patent USA, US2003154226 (A1). 2001 [2022-11-03 ] . （原始内容存档 于2023-01-09）. ^ William J. Gilbert. Arithmetic in Complex Bases (PDF) . Mathematics Magazine. 1984-03,. Vol. 57 (No. 2) [2022-11-03 ] . （原始内容存档 (PDF) 于2022-11-03）. ^ 11.0 11.1 Piché, Daniel Guy, Complex Bases, Number Systems and Their Application to Fractal-Wavelet Image Coding (PDF) , University of Waterloo, 2002 [2022-11-03 ] , （原始内容存档 (PDF) 于2022-11-10）
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![{\displaystyle \mathbb {Z} [\mathrm {i} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2f7e30b2083c5a1ffb637bd8c9ec111a486cd06)
![{\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\tfrac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bce5a43e3c8fb5fdabc8d12b6c20e560b8bb9f48)
![{\displaystyle [-{\tfrac {8}{15}},{\tfrac {2}{15}}]\times [-{\tfrac {4}{15}},{\tfrac {1}{15}}]\mathrm {i} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1169f246ca710e557a9ff51c42d43f199b1100f)
[math.DS]. 