威尔逊定理是以英格兰数学家爱德华·华林的学生约翰·威尔逊命名的,尽管这对师生都未能给出证明。华林于1770年提出该定理,1771年由拉格朗日首次证明[1]。
在初等数论中,威尔逊定理给出了判定一个自然数是否为質數的充分必要条件。即:当且仅当
为質數时:
![{\displaystyle (p-1)!\ \equiv \ -1\ ({\mbox{mod}}\ p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/225ebe5f0a058fc7818cf0f5acf70cd77eed028a)
如果
不是質數,那么它的正因数必然包含在整数
中,因此
,所以不可能得到
。
若
是質數,取集合
, 则
构成模
乘法的缩系,即任意
,存在
,使得:
![{\displaystyle (ij)\ \equiv \ 1{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1210edca97e29c97fb20921b109b496b195af3f5)
這幾乎說明
中的元素恰好两两配对。僅有滿足
![{\displaystyle x^{2}\ \equiv \ 1{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/019dc2fbdfa1a00879d94cbe79703d482e989f5c)
的元素
是例外。
上式解得
![{\displaystyle x\ \equiv \ 1{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7192477537578b4a7b913ff5a58984ce128a99e0)
或
![{\displaystyle x\ \equiv \ p-1{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ce11125d0a5d415c6dbdb355daec762a61370f3)
其余两两配对,故而
![{\displaystyle (p-1)!\ \equiv \ 1\times (p-1)\ \equiv \ -1{\pmod {p}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43ba6b6e8c78ae86d6f49a4fb381f68e5ae8e79b)
若
不是質數且大于4, 则易知有
故而
![{\displaystyle (p-1)!\ \equiv \ -1{\pmod {p}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43af61f173ff12488d7157d67be30d6d2161c024)
可以藉此推論
如下:
![{\displaystyle (p-2)!\equiv -(p-1)(p-2)!\equiv -(p-1)!\equiv 1{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1380f7728da5f20152d061f06f5c76e4d04f8b)