已知最大質數 - 维基百科，自由的百科全书

已知最大質數（截至2024年10月 (2024-10)^[update]）為2^136,279,841 − 1，十進制時有41,024,320位數，由互联网梅森素数大搜索（GIMPS）的志願者盧克 · 杜蘭特（Luke Durant）於2024年發現。^[1]

質數，又名素数，是一個除1與自身之外沒有其他因數的正整数。欧几里得定理說明質數沒有上限，不少數學家與嗜好者故一直尋找大質數。

不少大質數為梅森素数，定義為2的冪減去1的正整數。截至2024年10月 (2024-10)^[update]，首七個已知大質數皆為梅森素数^[2]。近十八次最大質數紀錄皆為梅森素数^[3]^[4]。所有梅森素数的二进制表示中，所有數字皆為1^[5]。

卢卡斯-莱默检验法的快速傅里叶变换比起其他方式能更快速尋找到梅森素数。

現時紀錄

截至2024年，已知最大質數為2^136,279,841 − 1，共有41,024,320位數，由互联网梅森素数大搜索於2024年10月12日發現^[1]。其數值為：

881694327503833265553939100378117358971207354509066041067156376412422630694756841441725990347723283108837509739959776874 ...
(省略41,024,080位)
... 852806517931459412567957568284228288124096109707961148305849349766085764170715060409404509622104665555076706219486871551

上面只顯示首尾各120位數。^[6]

獎金

互联网梅森素数大搜索現為下載其軟件並成功尋找新梅森素数的參與者提供3,000美元獎金，該梅森素数的數位應少於一億位。

电子前哨基金会亦為大質數的找尋設立了數個獎項^[7]，互联网梅森素数大搜索亦有協調一億數位以上的質數搜索，並與成功尋找者分享电子前哨基金会所提供的150,000元美金獎金。

1999年發現首個超過一百萬數位的質數，並取得50,000美元獎金^[8]。2008年發現了超過一千萬數位的質數，並取得100,000美元獎金^[7]。時代雜誌稱之為2008年第29名最佳發現^[9]兩項獎金皆為互联网梅森素数大搜索的參加者。电子前哨基金会現為首個一億及十億數位的質數提供獎金^[7]。

已知最大質數歷史

下表列出已知最大質數沿革，並按時序排列^[3]。此處M_n = 2ⁿ − 1，為2的n次方。時間最長的紀錄保持者為M₁₉ = 524,287，為已知最大質數共計144年。1456年之前未存有關最大質數的紀錄。

數字	數字展開（僅限小於M₅₀₀₀的數字）	數位	發現年份	發現者
M₁₃	8,191	4	1456	佚名
M₁₇	131,071	6	1588	伯多祿·卡塔迪
M₁₉	524,287	6	1588	伯多祿·卡塔迪
${\tfrac {2^{32}+1}{641}}$	6,700,417	7	1732	萊昂哈德·歐拉歐拉並未正式發表此數，但他於2³² + 1的因式分解中已完成此質數的大部分證明過程，故部分專家認為歐拉知道此為質數^[10]
M₃₁	2147483647	10	1772	萊昂哈德·歐拉
${\tfrac {2^{64}+1}{274177}}$	67,280,421,310,721	14	1855	湯馬斯·克勞森（英语：Thomas Clausen (mathematician)）
M₁₂₇	170,141,183,460,469,231,731,687,303,715,884,105,727	39	1876	爱德华·卢卡斯
${\tfrac {2^{148}+1}{17}}$	20,988,936,657,440,586,486,151,264,256,610,222,593,863,921	44	1951	Aimé Ferrier 使用機械計算機發現，非使用電腦發現的最大質數
180×(M₁₂₇)²+1	5210644015679228794060694325390955853335898483908056458352183851018372555735221	79	1951	J. C. P.米勒（英语：J. C. P. Miller）與大衛·惠勒（英语：David Wheeler (computer scientist)）^[11] 使用劍橋大學（英语：University of Cambridge Mathematical Laboratory）的EDSAC電腦
M₅₂₁	6864797660130609714981900799081393217269435300143305409394463459185543183397656052122559640661454554977296311391480858037121987999716643812574028291115057151	157	1952
M₆₀₇	531137992816767098689588206552468627329593117727031923199444138200403559860852242739162502265229285668889329486246501015346579337652707239409519978766587351943831270835393219031728127	183	1952
M₁₂₇₉	104079321946...703168729087	386	1952
M₂₂₀₃	147597991521...686697771007	664	1952
M₂₂₈₁	446087557183...418132836351	687	1952
M₃₂₁₇	259117086013...362909315071	969	1957
M₄₄₂₃	285542542228...902608580607	1,332	1961
M₉₆₈₉	478220278805...826225754111	2,917	1963
M₉₉₄₁	346088282490...883789463551	2,993	1963
M₁₁₂₁₃	281411201369...087696392191	3,376	1963
M₁₉₉₃₇	431542479738...030968041471	6,002	1971
M₂₁₇₀₁	448679166119...353511882751	6,533	1978
M₂₃₂₀₉	402874115778...523779264511	6,987	1979
M₄₄₄₉₇	854509824303...961011228671	13,395	1979	854509824303...961011228671
M₈₆₂₄₃	536927995502...709433438207	25,962	1982	536927995502...709433438207
M₁₃₂₀₄₉	512740276269...455730061311	39,751	1983
M₂₁₆₀₉₁	746093103064...103815528447	65,050	1985
391581×2²¹⁶¹⁹³−1	148140632376...836387377151	65,087	1989	群組發現，包括約翰·布朗、藍登·克特·諾爾（英语：Landon Curt Noll）、B. K. 柏拉狄、哲恩·史密夫、喬爾·史密夫、沙治奧^[12]^[13]，為已知最大質數歷史中最大的非梅森素數。
M₇₅₆₈₃₉	174135906820...328544677887	227,832	1992
M₈₅₉₄₃₃	129498125604...243500142591	258,716	1994
M_1257787	412245773621...976089366527	378,632	1996
M_1398269	814717564412...868451315711	420,921	1996	互联网梅森素数大搜索，喬爾·阿孟較得
M_2976221	623340076248...743729201151	895,932	1997	互联网梅森素数大搜索，戈登·斯彭斯
M_3021377	127411683030...973024694271	909,526	1998	互联网梅森素数大搜索，羅蘭·克拉克森
M_6972593	437075744127...142924193791	2,098,960	1999	互联网梅森素数大搜索，拿恩·哈拉華拉
M_13466917	924947738006...470256259071	4,053,946	2001	互联网梅森素数大搜索，米高·卡梅倫
M_20996011	125976895450...762855682047	6,320,430	2003	互联网梅森素数大搜索，米高·沙夫
M_24036583	299410429404...882733969407	7,235,733	2004	互联网梅森素数大搜索，喬許·芬德利
M_25964951	122164630061...280577077247	7,816,230	2005	互联网梅森素数大搜索，馬田·諾或
M_30402457	315416475618...411652943871	9,152,052	2005	互联网梅森素数大搜索，柯蒂斯·库珀與史提夫·布恩
M_32582657	124575026015...154053967871	9,808,358	2006	互联网梅森素数大搜索，柯蒂斯·库珀與史提夫·布恩
M_43112609	316470269330...166697152511	12,978,189	2008	互联网梅森素数大搜索，埃德森·史密夫
M_57885161	581887266232...071724285951	17,425,170	2013	互联网梅森素数大搜索，柯蒂斯·库珀
M_74207281	300376418084...391086436351	22,338,618	2016	互联网梅森素数大搜索，柯蒂斯·库珀
M_77232917	467333183359...069762179071	23,249,425	2017	互联网梅森素数大搜索，強納森·佩斯
M_82589933	148894445742...325217902591	24,862,048	2018	互联网梅森素数大搜索，派翠克·拉羅次
M_136279841	881694327503...219486871551	41,024,320	2024	互联网梅森素数大搜索，卢克·杜兰特

互联网梅森素数大搜索發現了近十五個最大質數紀錄。

二十大已知質數

克里斯·科德韋爾設有一列表，內共有已知最大的五千個質數^[14]^[15]，其中最大二十個列於下表。

排名	數字	發現日期	數位	种类	參考資料
1	2^136279841 − 1	2024-10-12	41,024,320	梅森质数	^[1]
2	2^82589933 − 1	2018-12-07	24,862,048	梅森质数	^[16]
3	2^77232917 − 1	2017-12-26	23,249,425	梅森质数	^[17]
4	2^74207281 − 1	2016-01-07	22,338,618	梅森质数	^[18]
5	2^57885161 − 1	2013-01-25	17,425,170	梅森质数	^[19]
6	2^43112609 − 1	2008-08-23	12,978,189	梅森质数	^[20]
7	2^42643801 − 1	2009-06-04	12,837,064	梅森质数	^[21]
8	Φ₃(−516693^1048576) （516693^2097152−516693^1048576+1）	2023-10-02	11,981,518	广义唯一素数	^[22]
9	Φ₃(−465859^1048576) （465859^2097152−465859^1048576+1）	2023-05-31	11,887,192	广义唯一素数	^[23]
10	2^37156667 − 1	2008-09-06	11,185,272	梅森质数	^[20]
11	2^32582657 − 1	2006-09-04	9,808,358	梅森质数	^[24]
12	10223 × 2^31172165 + 1	2016-10-31	9,383,761	普罗斯数	^[25]
13	2^30402457 − 1	2005-12-15	9,152,052	梅森质数	^[26]
14	4 × 5^11786358 + 1	2024-10-01	8,238,312	广义普洛斯数	^[27]
15	2^25964951 − 1	2005-02-18	7,816,230	梅森质数	^[28]
16	69 × 2^24612729 − 1	2024-08-13	7,409,102		^[29]
17	2^24036583 − 1	2004-05-15	7,235,733	梅森质数	^[30]
18	107347 × 2^23427517 − 1	2024-08-04	7,052,391		^[31]
19	3 × 2^22103376 − 1	2024-09-30	6,653,780	塔别脱数	^[32]
20	1963736^1048576 + 1	2022-09-24	6,598,776	广义费马数	^[33]

參見

參考資料

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外部連結

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查论编質數類
公式	卡羅爾（ $（2 n －1） 2 －2$ ）費馬質數（ $2 2 n ＋1$ ）梅森質數（ $2 p －1$ ）雙重梅森質數（ $2 2 p －1 －1$ ）瓦格斯塔夫質數 $（2 p ＋1）／3$ 普羅斯質數（ $k \cdot2 n ＋1$ ）階乘質數（ $n ！\pm1$ ）質數階乘質數（ $p n ＃\pm1$ ）歐幾里得數（ $p n ＃＋1$ ）畢達哥拉斯質數（ $4 n ＋1$ ）皮爾龐特質數（ $2 m \cdot3 n ＋1$ ） Quartan質數（ $x 4 ＋ y 4$ ）（英语：Quartan prime）索利納斯質數（ $2 m \pm2 n \pm1$ ）（英语：Solinas prime）卡倫質數（ $n \cdot2 n ＋1$ ）胡道爾質數（ $n \cdot2 n －1$ ）立方質數（ $x 3 － y 3 ）／（ x － y$ ）萊蘭質數（ $x y ＋ y x$ ）塔別脫質數（ $3\cdot2 n －1$ ）威廉姆斯素数（ $（ b -1）\cdot b n －1$ ）（英语：Williams number）米爾斯質數（［ $A 3 n$ ］） Kynea質數（ $（2 n ＋1） 2 －2$ ）
整數數列	斐波纳契素数盧卡斯質數佩尔質數 NSW質數佩蘭偽質數
屬性	維費里希質數質數對（英语：Wieferich pair）沃尔-孙-孙質數沃爾斯滕霍爾姆質數（英语：Wolstenholme prime）威尔逊素数幸运質數 Fortunate質數（英语：Fortunate number）拉馬努金質數皮萊質數正則質數强質數斯特恩質數超奇異質數（橢圓曲線）（英语：Supersingular prime (algebraic number theory)）超奇異質數（月光理論）好質數超質數希格斯質數高互補歐拉商數唯一質數
基數相關	回文素数反素数循環單位質數 $（10 n －1）／9$ 可交换質數環狀質數可截短質數極小質數精緻質數（英语：Delicate prime）原始質數全循環質數唯一質數快樂質數自我質數 Smarandache–Wellin質數 Strobogrammatic質數（英语：Strobogrammatic prime）二面質數四面質數（英语：Tetradic number）
圖形	孪生質數（ $p ， p ＋2$ ）孪生倍链（ $n \pm 1，2 n \pm 1，4 n \pm 1，\dots$ ）（英语：Bi-twin chain）三胞胎質數（ $p ， p ＋2 或 p ＋4， p ＋6$ ）四胞胎質數（ $p ， p ＋2， p ＋6， p ＋8$ ）質數k元組（英语：Prime k-tuple）表兄弟質數（ $p ， p ＋4$ ）六質數（ $p ， p ＋6$ ）陈質數索菲·熱爾曼／安全質數（ $p ，2 p ＋1$ ）坎寧安鏈（ $p ，2 p \pm 1，4 p \pm 3，8 p \pm 7，...$ ）（英语：Cunningham chain）等差數列（ $p ＋ a\cdotn ， n ＝0，1，2，3，...$ ）（英语：Primes in arithmetic progression）平衡質數（ $連續的 p － n ， p ， p ＋ n$ ）
數量級	超大質數（1,000,000+以上）（英语：Megaprime）已知最大質數列表（英语：List of largest known primes and probable primes）
复数	艾森斯坦質數高斯質數
合数	伪質數卡塔蘭（英语：Catalan pseudoprime）橢圓（英语：Elliptic pseudoprime）欧拉欧拉-雅可比费马弗羅貝尼烏斯（英语：Frobenius pseudoprime）盧卡斯（英语：Lucas pseudoprime）佩蘭索默爾–盧卡斯（英语：Somer–Lucas pseudoprime）強卡邁克爾數殆質數半質數楔形数 Interprime 有害数（英语：Pernicious number）
相關	準質數（英语：Probable prime）產業等級質數非法質數質數公式質數間隙 $X 2 ＋1$ 質數質數定理素数计数函数素性测试
前60個質數	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
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