快子電話 (Tachyonic antitelephone)是一樣理論物理裡用來傳递訊號 到自己過去的假想装置。先由R. C. Tolman 在1917提出[ 1] 示範超光速訊號如何和因果律 相矛盾。快子 是指在狭義相對論 架构裡以超越光速運動的理論粒子。現今物理學裡不可能以超光速傳递訊息。粒子物理非常成功的標準模型 裡没有快子存在。也没有它存在的實驗證据。
假設甲正坐在以速度β(<1)离开乙。两者都有以超光速α相互傳递訊號的能力。甲向乙發出一個訊號。乙收到訊號後同時向甲發出一個回應。考慮甲和乙分别靜止的两個參照系 。把乙受到甲訊息此事件設為两參照系的原點。乙在 t = 0 {\displaystyle t=0} 向甲發回應。乙發出的回應的世界綫 是:
( t , x ) = ( t , α t ) {\displaystyle (t,x)=\left(t,\alpha t\right)} 此世界線在甲的參照系内座標可以用勞侖茲變換 得到:
( t ′ , x ′ ) = ( γ ( 1 − α β ) t , γ ( α − β ) t ) {\displaystyle (t^{\prime },x^{\prime })=\left(\gamma (1-\alpha \beta )t,\gamma (\alpha -\beta )t\right)} 快子超光速訊號的世界綫 。黑座標是甲的靜止系。紅座標是乙的靜止系。時間方向向上。右邊黑線是甲的世界綫。可見快子回到甲發出訊號前。 在甲的參照系内,甲在 x ′ = L ′ {\displaystyle x^{\prime }=L^{\prime }} 靜止。 L ′ {\displaystyle L^{\prime }} 正是乙發出訊號時甲和原點的距离,所以:
t = L ′ γ ( α − β ) {\displaystyle t={\frac {L^{\prime }}{\gamma (\alpha -\beta )}}} 因此
t ′ = 1 − α β α − β L ′ {\displaystyle t^{\prime }={\frac {1-\alpha \beta }{\alpha -\beta }}L^{\prime }} 。 留意這只是相對論速度加法公式的應用。
當初甲發出的那个訊號需時 L ′ α {\displaystyle {\frac {L^{\prime }}{\alpha }}} 到達乙。所以甲從發出訊號到收到回應共歷時:
T ′ = L ′ α + t ′ = ( 1 α + 1 − α β α − β ) L ′ {\displaystyle T^{\prime }={\frac {L^{\prime }}{\alpha }}+t^{\prime }=\left({\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1-\alpha \beta }{\alpha -\beta }}\right)L^{\prime }} 當 β > 2 α 1 + α 2 {\displaystyle \beta >{\frac {2\alpha }{1+\alpha ^{2}}}} , T ′ < 0 {\displaystyle T^{\prime }<0} 。也就是甲在發出訊號之前就收到乙回信。 整個過程的世界線在右圖。
另外甲在:
( t 0 ′ , x 0 ′ ) = ( − L ′ α , L ′ ) {\displaystyle (t_{0}^{\prime },x_{0}^{\prime })=\left(-{\frac {L^{\prime }}{\alpha }},L^{\prime }\right)} 給乙發訊號。在乙參照系内,此事發生在:
( t 0 , x 0 ) = ( γ ( β − 1 α ) L ′ , γ ( 1 − β α ) L ′ ) {\displaystyle (t_{0},x_{0})=\left(\gamma (\beta -{\frac {1}{\alpha }})L^{\prime },\gamma (1-{\frac {\beta }{\alpha }})L^{\prime }\right)} 當 β > 1 α {\displaystyle \beta >{\frac {1}{\alpha }}} , t 0 > 0 {\displaystyle t_{0}>0} 。也就是乙收到的訊號來自他的未來。